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자연계열 미적분

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부산대 2022학년도 모의 자연계열 미적분 · mathesis.kr/archive/pusan/2022mo/jayeon_3

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【선택문항 유형1(미적분)】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 각 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 다음이 성립한다.sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{aligned}

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는 다음과 같다.S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|\,dx

(다) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능할 때, 다음이 성립한다.∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx

좌표평면 위의 두 점 A(x,e−x)\displaystyle \mathrm A(x,e^{-x}), B(x,−e−x)\displaystyle \mathrm B(x,-e^{-x})을 잇는 선분 위의 점 P가 AP‾=AB‾sin⁡2x\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AB}}\sin^2x를 만족한다.x≥0\displaystyle x\ge0일 때, 점 P가 나타내는 곡선을 C\displaystyle C라 하자. 자연수 n\displaystyle n에 대하여 곡선 C\displaystyle C가 x\displaystyle x축과 만나는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, n\displaystyle n번째 점을 Pn\displaystyle \mathrm P_n이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[미적분-1] 곡선 C\displaystyle C의 방정식을 구하고, 점 P10\displaystyle \mathrm P_{10}의 x\displaystyle x좌표를 구하시오. (10점)

[미적분-2] 곡선 C\displaystyle C와 선분 PnPn+1‾\displaystyle \overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}으로 둘러싸인 부분의 넓이를 Sn\displaystyle S_n이라 할 때, S9S8\displaystyle \frac{S_9}{S_8}의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2022학년도 모의 자연계열 미적분 · mathesis.kr/archive/pusan/2022mo/jayeon_3

+6점 · 곡선 C\displaystyle C의 방정식을 구할 수 있다.

[미적분-1]점 P의 좌표를 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)라 하자. 그러면 AP‾=e−x−y\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=e^{-x}-y이다.또한 AB‾=e−x−(−e−x)=2e−x\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=e^{-x}-(-e^{-x})=2e^{-x}이므로AP‾=AB‾sin⁡2x\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AB}}\sin^2x에서e−x−y=2e−xsin⁡2x\displaystyle e^{-x}-y=2e^{-x}\sin^2xy=e−x−2e−xsin⁡2x=e−x(1−2sin⁡2x)=e−xcos⁡2x\displaystyle y=e^{-x}-2e^{-x}\sin^2x=e^{-x}(1-2\sin^2x)=e^{-x}\cos2x따라서 점 P가 나타내는 곡선 C\displaystyle C의 방정식은 y=e−xcos⁡2x\displaystyle y=e^{-x}\cos2x이다.

+4점 · 점 P10\displaystyle \mathrm P_{10}의 x\displaystyle x좌표를 구할 수 있다.

점 Pn\displaystyle \mathrm P_n의 x\displaystyle x좌표를 xn\displaystyle x_n이라 하면e−xncos⁡2xn=0\displaystyle e^{-x_n}\cos2x_n=0이다. 그런데, e−xn>0\displaystyle e^{-x_n}>0이므로 cos⁡2xn=0\displaystyle \cos2x_n=0이 식을 만족하는 양수 xn\displaystyle x_n을 작은 것부터 차례로 나열하면,π4,3π4,5π4,7π4,9π4,11π4,13π4,15π4,17π4,19π4,⋯\displaystyle \frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4,\frac{9\pi}4,\frac{11\pi}4,\frac{13\pi}4,\frac{15\pi}4,\frac{17\pi}4,\frac{19\pi}4,\cdots이므로구하는 점 P10\displaystyle \mathrm P_{10}의 x\displaystyle x좌표 x10\displaystyle x_{10}은x10=19π4\displaystyle x_{10}=\frac{19\pi}4이다.

+10점 · 부분적분을 이용하여 ∫e−xcos⁡2x dx\displaystyle \int e^{-x}\cos2x\,dx을 구할 수 있다.

[미적분-2]xn<x<xn+1\displaystyle x_n<x<x_{n+1}에 대하여 y=e−xcos⁡2x\displaystyle y=e^{-x}\cos2x는 항상 양이거나 항상 음이다.따라서, Sn=∫xnxn+1∣e−xcos⁡2x∣ dx=∣∫xnxn+1e−xcos⁡2x dx∣\displaystyle S_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}|e^{-x}\cos2x|\,dx=\left|\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx\right|이 된다.∫e−xcos⁡2x dx=I\displaystyle \int e^{-x}\cos2x\,dx=I라 두면,I=∫e−xcos⁡2x dx=−e−xcos⁡2x−∫2e−xsin⁡2x dx=−e−xcos⁡2x+2e−xsin⁡2x−∫4e−xcos⁡2x dx=−e−xcos⁡2x+2e−xsin⁡2x−4I\displaystyle \begin{aligned}I&=\int e^{-x}\cos2x\,dx=-e^{-x}\cos2x-\int2e^{-x}\sin2x\,dx\\&=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-\int4e^{-x}\cos2x\,dx\\&=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-4I\end{aligned}5I=−e−xcos⁡2x+2e−xsin⁡2x\displaystyle 5I=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x이므로, ∫e−xcos⁡2x dx=15e−x(2sin⁡2x−cos⁡2x)\displaystyle \int e^{-x}\cos2x\,dx=\frac15e^{-x}(2\sin2x-\cos2x)이다.

+6점 · Sn\displaystyle S_n을 구할 수 있다.

∫xnxn+1e−xcos⁡2x dx=[15e−x(2sin⁡2x−cos⁡2x)]xnxn+1=15e−xn+1(2sin⁡2xn+1−cos⁡2xn+1)−15e−xn(2sin⁡2xn−cos⁡2xn)\displaystyle \begin{aligned}\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx&=\Biggl[\frac15e^{-x}(2\sin2x-\cos2x)\Biggr]_{x_n}^{x_{n+1}}\\&=\frac15e^{-x_{n+1}}(2\sin2x_{n+1}-\cos2x_{n+1})-\frac15e^{-x_n}(2\sin2x_n-\cos2x_n)\end{aligned}이 되고,cos⁡2xn=cos⁡2xn+1=0\displaystyle \cos2x_n=\cos2x_{n+1}=0, {sin⁡2xn+1=1sin⁡2xn=−1\displaystyle \begin{cases}\sin2x_{n+1}=1\\\sin2x_n=-1\end{cases} 또는 {sin⁡2xn+1=−1sin⁡2xn=1\displaystyle \begin{cases}\sin2x_{n+1}=-1\\\sin2x_n=1\end{cases}이므로, 위 식은±25(e−xn+1+e−xn)\displaystyle \pm\frac25(e^{-x_{n+1}}+e^{-x_n})이 된다.따라서 Sn\displaystyle S_n은Sn=∣∫xnxn+1e−xcos⁡2x dx∣=25(e−xn+1+e−xn)\displaystyle S_n=\left|\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx\right|=\frac25(e^{-x_{n+1}}+e^{-x_n})이 된다.

+4점 · S9S8\displaystyle \frac{S_9}{S_8}을 구할 수 있다.

S9=25(e−x10+e−x9)=25(e−19π4+e−17π4)=25e−19π4(eπ2+1)\displaystyle S_9=\frac25(e^{-x_{10}}+e^{-x_9})=\frac25\left(e^{-\frac{19\pi}4}+e^{-\frac{17\pi}4}\right)=\frac25e^{-\frac{19\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)S8=25(e−x9+e−x8)=25(e−17π4+e−15π4)=25e−17π4(eπ2+1)\displaystyle S_8=\frac25(e^{-x_9}+e^{-x_8})=\frac25\left(e^{-\frac{17\pi}4}+e^{-\frac{15\pi}4}\right)=\frac25e^{-\frac{17\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)이므로S9S8=25e−19π4(eπ2+1)25e−17π4(eπ2+1)=e−π2\displaystyle \frac{S_9}{S_8}=\frac{\frac25e^{-\frac{19\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)}{\frac25e^{-\frac{17\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)}=e^{-\frac\pi2}이다.

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