자연계열 미적분

[미적분-1]점 P의 좌표를 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$라 하자. 그러면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=e^{-x}-y$이다.또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=e^{-x}-(-e^{-x})=2e^{-x}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AB}}\sin^2x$에서$\displaystyle e^{-x}-y=2e^{-x}\sin^2x$$\displaystyle y=e^{-x}-2e^{-x}\sin^2x=e^{-x}(1-2\sin^2x)=e^{-x}\cos2x$따라서 점 P가 나타내는 곡선 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle y=e^{-x}\cos2x$이다.

점 $\displaystyle \mathrm P_n$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_n$이라 하면$\displaystyle e^{-x_n}\cos2x_n=0$이다. 그런데, $\displaystyle e^{-x_n}>0$이므로 $\displaystyle \cos2x_n=0$이 식을 만족하는 양수 $\displaystyle x_n$을 작은 것부터 차례로 나열하면,$\displaystyle \frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4,\frac{9\pi}4,\frac{11\pi}4,\frac{13\pi}4,\frac{15\pi}4,\frac{17\pi}4,\frac{19\pi}4,\cdots$이므로구하는 점 $\displaystyle \mathrm P_{10}$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_{10}$은$\displaystyle x_{10}=\frac{19\pi}4$이다.

[미적분-2]$\displaystyle x_n<x<x_{n+1}$에 대하여 $\displaystyle y=e^{-x}\cos2x$는 항상 양이거나 항상 음이다.따라서, $\displaystyle S_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}|e^{-x}\cos2x|\,dx=\left|\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx\right|$이 된다.$\displaystyle \int e^{-x}\cos2x\,dx=I$라 두면,$\displaystyle \begin{aligned}I&=\int e^{-x}\cos2x\,dx=-e^{-x}\cos2x-\int2e^{-x}\sin2x\,dx\\&=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-\int4e^{-x}\cos2x\,dx\\&=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-4I\end{aligned}$$\displaystyle 5I=-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x$이므로, $\displaystyle \int e^{-x}\cos2x\,dx=\frac15e^{-x}(2\sin2x-\cos2x)$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx&=\Biggl[\frac15e^{-x}(2\sin2x-\cos2x)\Biggr]_{x_n}^{x_{n+1}}\\&=\frac15e^{-x_{n+1}}(2\sin2x_{n+1}-\cos2x_{n+1})-\frac15e^{-x_n}(2\sin2x_n-\cos2x_n)\end{aligned}$이 되고,$\displaystyle \cos2x_n=\cos2x_{n+1}=0$, $\displaystyle \begin{cases}\sin2x_{n+1}=1\\\sin2x_n=-1\end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases}\sin2x_{n+1}=-1\\\sin2x_n=1\end{cases}$이므로, 위 식은$\displaystyle \pm\frac25(e^{-x_{n+1}}+e^{-x_n})$이 된다.따라서 $\displaystyle S_n$은$\displaystyle S_n=\left|\int_{x_n}^{x_{n+1}}e^{-x}\cos2x\,dx\right|=\frac25(e^{-x_{n+1}}+e^{-x_n})$이 된다.

$\displaystyle S_9=\frac25(e^{-x_{10}}+e^{-x_9})=\frac25\left(e^{-\frac{19\pi}4}+e^{-\frac{17\pi}4}\right)=\frac25e^{-\frac{19\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)$$\displaystyle S_8=\frac25(e^{-x_9}+e^{-x_8})=\frac25\left(e^{-\frac{17\pi}4}+e^{-\frac{15\pi}4}\right)=\frac25e^{-\frac{17\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)$이므로$\displaystyle \frac{S_9}{S_8}=\frac{\frac25e^{-\frac{19\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)}{\frac25e^{-\frac{17\pi}4}\left(e^{\frac\pi2}+1\right)}=e^{-\frac\pi2}$이다.