자연계열 2번

[2-1]함수 $\displaystyle y=f(x)$ 그래프 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$이다.이 접선이 점 $\displaystyle (0,t)$를 지나므로 $\displaystyle t=-af^{\prime}(a)+f(a)$이다.이때 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle t=-af^{\prime}(a)+f(a)$의 서로 다른 실근 $\displaystyle a$의 개수가 $\displaystyle g(t)$이다.즉, $\displaystyle h(x)=-xf^{\prime}(x)+f(x)$라 하면, $\displaystyle g(t)$는 직선 $\displaystyle y=t$와 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프의 교점의 개수이다.

$\displaystyle f(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이므로 $\displaystyle f(x)=x^3+bx^2+cx+d$라 하자.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2bx+c$이므로 $\displaystyle h(x)=-2x^3-bx^2+d$이고,$\displaystyle h^{\prime}(x)=-6x^2-2bx=-2x(3x+b)$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(0)=h^{\prime}\left(-\frac b3\right)=0$이다.

이때,(i) $\displaystyle b=0$이면 :$\displaystyle h^{\prime}(x)=-6x^2\le0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 감소함수이고,

(ii) $\displaystyle b>0$이면, $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=-\frac b3$에서 극값을 가지므로 다음과 같고,

(iii) $\displaystyle b<0$이면, $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=-\frac b3$에서 극값을 가지므로 다음과 같고,

[2-2]$\displaystyle f(0)<0$이므로 [2-1]에 의해 $\displaystyle f(0)=-3$이다.따라서 $\displaystyle h(x)=-2x^3-bx^2-3$이고, $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 다음과 같다.

즉, $\displaystyle h\left(-\frac b3\right)=5$이므로$\displaystyle h\left(-\frac b3\right)=\frac{2b^3}{27}-\frac{b^3}9-3=5$$\displaystyle -\frac{b^3}{27}=8$$\displaystyle b=-6$이다.

이때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2bx+c=3x^2-12x+c=3(x-2)^2+c-12$이므로$\displaystyle f(x)$의 접선의 기울기의 최솟값은 $\displaystyle c-12$이다.즉, $\displaystyle c-12=-3$$\displaystyle c=9$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x-3$이다.