부산대 2022학년도 모의 의·약학계 기하 해설

【선택문항 유형2(기하)】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 좌표평면에서 초점이 $\displaystyle \mathrm F(p,0)$ 이고, 준선이 $\displaystyle x=-p$ 인 포물선의 방정식은 $\displaystyle y^2=4px$ (단, $\displaystyle p\ne0$ )이다.

(나) 좌표평면에서 점 A의 위치벡터를 $\displaystyle \vec a$ , 점 B의 위치벡터를 $\displaystyle \vec b$ 라 할 때,선분 AB를 $\displaystyle m:n\;(m>0,\;n>0)$ 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 $\displaystyle \vec p$ 는 $\displaystyle \vec p=\frac{m\vec b+n\vec a}{m+n}$ 이다.

포물선 $\displaystyle y^2=4px\;(p>0)$ 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1),\;\mathrm B(x_2,y_2)\;(y_1<y_2)$ 에 대하여 점 A에서의 접선과 점 B에서의 접선의 교점을 P라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[기하-1] 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm Q(x,y)\;(y_1<y<y_2)$ 에 대하여 삼각형 ABQ의 넓이의 최대가 되도록 하는 점 Q의 좌표를 $\displaystyle y_1,y_2$ 를 이용하여 나타내시오. (10점)

[기하-2] 점 P를 지나고 $\displaystyle y$ 축에 수직인 직선이 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 와 만나는 점을 R, 선분 AB와 만나는 점을 S라 할 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ 를 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}$ 로 나타내시오. (단, $\displaystyle x_1\ne x_2$ 이고 O는 원점이다.) (10점)

[기하-3] 점 $\displaystyle \mathrm T(t,0)\;(t>2p)$ 와 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 포물선 위의 한 점을 C라 하고, 점 C에서의 접선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 E라 하자. 점 T를 중심으로 하고 선분 CT를 반지름으로 하는 원의 넓이를 $\displaystyle S_1(t)$ , 선분 ET를 지름으로 하는 원의 넓이를 $\displaystyle S_2(t)$ 라 할 때, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t\times S_1(t)}{S_2(t)}$ 의 값을 구하시오. (10점)

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Advice. 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 를 $\displaystyle x=\frac{y^2}{4p}$ 로 보면, $\displaystyle y$ 를 변수로 하는 익숙한 이차함수이다. $\displaystyle y$ 좌표를 중심으로 계산하면 [기하-1]의 넓이도 이차식으로 정리되며, $\displaystyle x_1=x_2$ 인 경우를 따로 나눌 필요가 없다.

[기하-1] $\displaystyle x$ 를 $\displaystyle y$ 에 관한 일차식으로 쓰면, 두 점 $\displaystyle \mathrm A,\mathrm B$ 를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle x-x_1=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}(y-y_1)$ 이다. $\displaystyle y_1<y_2$ 이므로 분모는 $\displaystyle 0$ 이 아니며, $\displaystyle x_1=x_2$ 인 경우에도 성립한다.두 점이 포물선 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=\frac{y_2^2-y_1^2}{4p(y_2-y_1)}=\frac{y_1+y_2}{4p}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}x&=\frac{y_1^2}{4p}+\frac{y_1+y_2}{4p}(y-y_1)\\&=\frac{(y_1+y_2)y-y_1y_2}{4p}\end{aligned}$ 이다.점 $\displaystyle \mathrm Q\left(\frac{y^2}{4p},y\right)$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 평행한 직선을 그어 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm D$ 라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{QD}}&=\frac{(y_1+y_2)y-y_1y_2-y^2}{4p}\\&=\frac{(y-y_1)(y_2-y)}{4p}\end{aligned}$ 이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABQ}$ 를 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AQD},\mathrm{BQD}$ 로 나누면, 넓이는 $\displaystyle \begin{aligned}\frac12\overline{\mathrm{QD}}\{(y-y_1)+(y_2-y)\}&=\frac{y_2-y_1}{8p}(y-y_1)(y_2-y)\end{aligned}$ 이다. 이는 $\displaystyle y$ 에 대한 이차식이므로 $\displaystyle y=\frac{y_1+y_2}{2}$ 에서 최대이다.따라서 $\displaystyle \mathrm Q\left(\frac{(y_1+y_2)^2}{16p},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 이다.

[기하-2] 두 접선의 방정식 $\displaystyle y_1y=2px+\frac{y_1^2}{2},\qquad y_2y=2px+\frac{y_2^2}{2}$ 을 빼면 $\displaystyle y=\frac{y_1+y_2}{2}$ 이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{y_1y_2}{4p},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{PRS}$ 는 $\displaystyle x$ 축과 평행하므로, 세 점의 $\displaystyle y$ 좌표는 모두 $\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}$ 이다.이를 포물선과 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 방정식에 각각 대입하면 $\displaystyle x_{\mathrm R}=\frac{(y_1+y_2)^2}{16p},\qquad x_{\mathrm S}=\frac{y_1^2+y_2^2}{8p}$ 이다. 이때 $\displaystyle \frac{x_{\mathrm P}+x_{\mathrm S}}2=\frac12\left(\frac{y_1y_2}{4p}+\frac{y_1^2+y_2^2}{8p}\right)=\frac{(y_1+y_2)^2}{16p}=x_{\mathrm R}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm R$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm{PS}$ 의 중점이다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}}{2}$ 이다.

[기하-3] 포물선 위의 점을 $\displaystyle (x,y)$ 라 하면, $\displaystyle y^2=4px$ 이므로 점 $\displaystyle \mathrm T$ 까지의 거리의 제곱은 $\displaystyle \begin{aligned}(x-t)^2+y^2&=(x-t)^2+4px\\&=\{x-(t-2p)\}^2+4p(t-p)\end{aligned}$ 이다. $\displaystyle t>2p$ 이므로 $\displaystyle x=t-2p>0$ 일 때 최소이다.따라서 $\displaystyle \mathrm C$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle t-2p$ 이고, $\displaystyle S_1(t)=\pi\overline{\mathrm{TC}}^2=4p(t-p)\pi$ 이다.

점 $\displaystyle \mathrm C(t-2p,y_{\mathrm C})$ 에서의 접선은 $\displaystyle y_{\mathrm C}y=2p(x+t-2p)$ 이므로, $\displaystyle \mathrm E$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle 2p-t$ 이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}=2(t-p)$ 이므로 $\displaystyle S_2(t)=(t-p)^2\pi$ 이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{tS_1(t)}{S_2(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{4pt}{t-p}=4p$ 이다.

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