자연계열 2번

서울과학기술대 2025학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2025su_am/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 곡선 $\displaystyle y=2\ln x$ 는 서로 다른 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac12,-2\ln2\right)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(1,0)$ , $\displaystyle \mathrm{C}(k,2\ln k)$ 를 지나고 직선 $\displaystyle l_1$ 과는 두 점 A와 C에서 만난다. (단, $\displaystyle k$ 는 상수이고 $\displaystyle k>1$ 이다.)

(나) $\displaystyle x$ 축 위의 점 D에 대하여 점 A는 선분 DC를 $\displaystyle 1:3$ 으로 외분하는 점이다.

(다) 곡선 $\displaystyle y=2\ln x$ 위의 점 C에서의 접선을 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이동한 직선을 $\displaystyle l_2$ 라고 하자.

(라) 정적분의 치환적분법미분가능한 함수 $\displaystyle t=g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 $\displaystyle \int_a^bf(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(t)\,dt$

[2.1] 상수 $\displaystyle k$ 의 값과 직선 $\displaystyle l_1$ 의 방정식을 각각 구하시오.

[2.2] 점 C와 직선 $\displaystyle l_2$ 사이의 거리를 구하시오.

[2.3] 문항 [2.1]에서 구한 $\displaystyle k$ 의 값에 대하여 곡선 $\displaystyle y=2\ln x$ 의 $\displaystyle x=1$ 에서 $\displaystyle x=k$ 까지의 길이를 구하시오.

해설강의 준비중

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+5점 · 점 D를

\displaystyle (d,0)

이라 하면 점 A의 좌표는

\displaystyle \left(\frac{k-3d}{1-3},\frac{2\ln k}{1-3}\right)

이므로

\displaystyle k=4

임을 구한다.

[2.1]점 D를 $\displaystyle (d,0)$ 이라 하면 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{k-3d}{1-3},\frac{2\ln k}{1-3}\right)$ 이므로 $\displaystyle k=4$ , $\displaystyle d=\frac53$ 이다.

+5점 · 직선

\displaystyle l_1

의 방정식

\displaystyle \left(y=\frac{12\ln2}7x-\frac{20\ln2}7\right)

을 정확히 구한다.

따라서 직선 $\displaystyle l_1$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{12\ln2}7$ 이므로 직선 $\displaystyle l_1$ 의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{12\ln2}7x-\frac{20\ln2}7$ 이다.

+7점 · 점 C에서의 접선의 방정식

\displaystyle \left(y=\frac12x+4\ln2-2\right)

을 구한다.

[2.2]곡선 $\displaystyle y=2\ln x$ 의 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=\frac2x$ 이므로 점 C에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac12$ 이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12x+4\ln2-2$ 이다.

+3점 · 점 C에서의 접선을 직선

\displaystyle y=x

에 대해 대칭이동하여 직선

\displaystyle l_2

의 방정식을 구하고 이를 이용해 점

\displaystyle \mathrm{C}(4,4\ln2)

와 직선

\displaystyle l_2

사이의 거리

\displaystyle \left(\frac{12-12\ln2}{\sqrt5}\right)

를 정확히 구한다.

직선 $\displaystyle y=x$ 에 대해 대칭이동한 직선 $\displaystyle l_2$ 의 방정식을 구하면 $\displaystyle x=\frac12y+4\ln2-2,\ \text{즉,}\ 2x-y+4-8\ln2=0$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}(4,4\ln2)$ 과 직선 $\displaystyle l_2$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|8-4\ln2+4-8\ln2|}{\sqrt5}=\frac{12-12\ln2}{\sqrt5}$ 이다.

+4점 · 곡선

\displaystyle y=2\ln x

의

\displaystyle x=1

에서

\displaystyle x=4

까지의 길이

\displaystyle L

이

\displaystyle L=\int_1^4\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\int_1^4\frac{\sqrt{x^2+4}}x\,dx

임을 보인다.

[2.3]곡선 $\displaystyle y=2\ln x$ 의 $\displaystyle x=1$ 에서 $\displaystyle x=4$ 까지의 길이 $\displaystyle L$ 은 $\displaystyle L=\int_1^4\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\int_1^4\frac{\sqrt{x^2+4}}x\,dx$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \sqrt{x^2+4}=t

로 치환하면

\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

이고,

\displaystyle x=1

일 때

\displaystyle t=\sqrt5

\displaystyle x=4

일 때

\displaystyle t=2\sqrt5

이다. 이를 이용해 곡선의 길이가

\displaystyle \int_{\sqrt5}^{2\sqrt5}\frac{t^2}{t^2-4}\,dt

임을 보인다.

+4점 · 적분을 올바르게 풀어 곡선의 길이

\displaystyle \left(\sqrt5+2\ln\frac{3+\sqrt5}2\right)

를 정확히 구한다.

이때 $\displaystyle \sqrt{x^2+4}=t$ 로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ 이고, $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle t=\sqrt5$ , $\displaystyle x=4$ 일 때 $\displaystyle t=2\sqrt5$ 이므로 $\displaystyle L=\int_1^4\frac{x^2+4}{x^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\int_{\sqrt5}^{2\sqrt5}\frac{t^2}{t^2-4}\,dt=\Biggl[t+\ln\frac{t-2}{t+2}\Biggr]_{\sqrt5}^{2\sqrt5}=\sqrt5+2\ln\frac{3+\sqrt5}2$ 이다.

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