자연계열 2번

[2.1]점 D를 $\displaystyle (d,0)$이라 하면 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{k-3d}{1-3},\frac{2\ln k}{1-3}\right)$이므로 $\displaystyle k=4$, $\displaystyle d=\frac53$이다.

따라서 직선 $\displaystyle l_1$의 기울기는 $\displaystyle \frac{12\ln2}7$이므로 직선 $\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{12\ln2}7x-\frac{20\ln2}7$이다.

[2.2]곡선 $\displaystyle y=2\ln x$의 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=\frac2x$이므로 점 C에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac12$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12x+4\ln2-2$이다.

직선 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭이동한 직선 $\displaystyle l_2$의 방정식을 구하면$\displaystyle x=\frac12y+4\ln2-2,\ \text{즉,}\ 2x-y+4-8\ln2=0$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}(4,4\ln2)$과 직선 $\displaystyle l_2$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|8-4\ln2+4-8\ln2|}{\sqrt5}=\frac{12-12\ln2}{\sqrt5}$이다.

[2.3]곡선 $\displaystyle y=2\ln x$의 $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle x=4$까지의 길이 $\displaystyle L$은$\displaystyle L=\int_1^4\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=\int_1^4\frac{\sqrt{x^2+4}}x\,dx$이다.

이때 $\displaystyle \sqrt{x^2+4}=t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$이고, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle t=\sqrt5$, $\displaystyle x=4$일 때 $\displaystyle t=2\sqrt5$이므로$\displaystyle L=\int_1^4\frac{x^2+4}{x^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\int_{\sqrt5}^{2\sqrt5}\frac{t^2}{t^2-4}\,dt=\Biggl[t+\ln\frac{t-2}{t+2}\Biggr]_{\sqrt5}^{2\sqrt5}=\sqrt5+2\ln\frac{3+\sqrt5}2$이다.