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자연계열 3번

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서울과학기술대 2025학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2025su_am/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 f(x)=cos⁡xx2\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{x^2} (x>0\displaystyle x>0)에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축이 만나는 점의 x\displaystyle x좌표를 작은 것부터 차례로 x1,x2,x3,⋯\displaystyle x_1,x_2,x_3,\cdots이라고 하자. 또, 자연수 n\displaystyle n에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 Pn(xn,0)\displaystyle \mathrm{P}_n(x_n,0)에서의 접선과 y\displaystyle y축이 만나는 점을 Qn(0,yn)\displaystyle \mathrm{Q}_n(0,y_n)이라고 하자.

[3.1] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 xn\displaystyle x_n을 구하시오.

[3.2] ∑n=12025xnyn\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}x_ny_n의 값을 구하시오.

[3.3] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 삼각형 PnPn+1Qn\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_n의 넓이를 An\displaystyle A_n이라고 할 때, ∑n=125AnAn+1\displaystyle \sum_{n=1}^{25}A_nA_{n+1}과 ∑n=1∞AnAn+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}의 값을 각각 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2025학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2025su_am/jayeon_3

+5점 · cos⁡xn=0\displaystyle \cos x_n=0이 되는 xn\displaystyle x_n의 일반항(xn=(2n−1)π2)\displaystyle \left(x_n=\frac{(2n-1)\pi}2\right)을 정확히 구한다.

[3.1]cos⁡xn=0\displaystyle \cos x_n=0이 되는 xn\displaystyle x_n을 찾으면 된다. 따라서 xn=(2n−1)π2\displaystyle x_n=\frac{(2n-1)\pi}2이다.

+5점 · xn=(2n−1)π2\displaystyle x_n=\frac{(2n-1)\pi}2에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 도함수를 f′(xn)=−sin⁡xnxn2−2cos⁡xnxn3\displaystyle f^{\prime}(x_n)=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}-\frac{2\cos x_n}{x_n^3} 혹은 f′(xn)=−sin⁡xnxn2\displaystyle f^{\prime}(x_n)=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}으로 구할 수 있다.

[3.2]f(x)\displaystyle f(x)를 미분하면f′(xn)=−sin⁡xnxn2−2cos⁡xnxn3\displaystyle f^{\prime}(x_n)=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}-\frac{2\cos x_n}{x_n^3}이므로f′(xn)=−sin⁡xnxn2−2cos⁡xnxn3=−sin⁡xnxn2\displaystyle f^{\prime}(x_n)=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}-\frac{2\cos x_n}{x_n^3}=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}

+5점 · 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선의 방정식(y=−sin⁡xnxn2(x−xn))\displaystyle \left(y=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}(x-x_n)\right)을 구하고 이를 이용해 직선의 y\displaystyle y절편을 yn=sin⁡xnxn\displaystyle y_n=\frac{\sin x_n}{x_n}으로 구한다. 이를 이용해 yn=sin⁡xnxn={1xn(n=1,3,5,⋯ )−1xn(n=2,4,6,⋯ )\displaystyle y_n=\frac{\sin x_n}{x_n}=\begin{cases}\frac1{x_n}&(n=1,3,5,\cdots)\\-\frac1{x_n}&(n=2,4,6,\cdots)\end{cases} 혹은 xnyn=sin⁡xn={1(n=1,3,5,⋯ )−1(n=2,4,6,⋯ )\displaystyle x_ny_n=\sin x_n=\begin{cases}1&(n=1,3,5,\cdots)\\-1&(n=2,4,6,\cdots)\end{cases}이 성립함을 보일 수 있다.

이다. 따라서 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선의 방정식은 y=−sin⁡xnxn2(x−xn)\displaystyle y=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}(x-x_n)이고 이 직선의 y\displaystyle y절편은 yn=sin⁡xnxn\displaystyle y_n=\frac{\sin x_n}{x_n}이다. 따라서xnyn=sin⁡xn={1(n=1,3,5,⋯ )−1(n=2,4,6,⋯ )\displaystyle x_ny_n=\sin x_n=\begin{cases}1&(n=1,3,5,\cdots)\\-1&(n=2,4,6,\cdots)\end{cases}

+5점 · 수열 xnyn\displaystyle x_ny_n의 규칙성을 이용해 ∑n=12025xnyn=1\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}x_ny_n=1이 됨을 구할 수 있다.

이고 ∑n=12025xnyn=1\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}x_ny_n=1이다.

+5점 · 두 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n과 Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} 사이의 거리가 π\displaystyle \pi이고 ∣yn∣=2(2n−1)π\displaystyle |y_n|=\frac2{(2n-1)\pi} 임을 이용해 An=12n−1\displaystyle A_n=\frac1{2n-1} 혹은 AnAn+1=12(12n−1−12n+1)\displaystyle A_nA_{n+1}=\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right) 임을 보인다.

[3.3]두 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n과 Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} 사이의 거리는 π\displaystyle \pi이고 ∣yn∣=∣sin⁡xn∣xn=2(2n−1)π\displaystyle |y_n|=\frac{|\sin x_n|}{x_n}=\frac2{(2n-1)\pi}이므로An=12×π×2(2n−1)π=12n−1\displaystyle A_n=\frac12\times\pi\times\frac2{(2n-1)\pi}=\frac1{2n-1}이다. 따라서 부분합은Sn=∑k=1nAkAk+1=∑k=1n1(2k−1)(2k+1)=∑k=1n12(12k−1−12k+1)=n2n+1\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nA_kA_{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=\frac n{2n+1}

+5점

이므로 ∑n=125AnAn+1=2551\displaystyle \sum_{n=1}^{25}A_nA_{n+1}=\frac{25}{51}이고, 급수의 합은

+3점 · ∑n=1∞AnAn+1=12\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}=\frac12

∑n=1∞AnAn+1=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞n2n+1=12\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}=\frac12이다.

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