자연계열 2번

[2.1]점 B를 원점, 직선 BC를 $\displaystyle x$축, 직선 AB를 $\displaystyle y$축으로 하는 좌표평면에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$은 $\displaystyle (0,6)$, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$은 $\displaystyle (4,-2)$라고 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{PX}}=\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{X}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{YQ}}=\overline{\mathrm{YQ}^{\prime}}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{PX}}+\overline{\mathrm{XY}}+\overline{\mathrm{YQ}}=\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{X}}+\overline{\mathrm{XY}}+\overline{\mathrm{YQ}^{\prime}}\geq\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}$

이다. 따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=4\sqrt5$이다.

[2.2]삼각형 MUY에서 외접원의 반지름의 길이가 $\displaystyle R$라고 할 때, 주어진 등식에 사인법칙을 이용하면$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{UY}}^2}{2R}=\frac{\overline{\mathrm{YM}}^2}{2R}+\frac{\overline{\mathrm{MU}}^2}{2R}$이므로 삼각형 MUY는 $\displaystyle \angle\mathrm{M}$이 직각인 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{UY}}=2R$이다.

한편, 직선 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}$의 방정식은 $\displaystyle y=-2x+6$이고, 직선 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}$ 위의 점 Y의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Y}(3,0)$이다. 점 U는 직선 XY에 수직이고 점 D를 지나는 직선 $\displaystyle y=\frac12x+3$ 위의 점이므로, 점 U의 좌표는 $\displaystyle (0,3)$이다. 따라서 $\displaystyle R=\frac{\overline{\mathrm{UY}}}2=\frac{3\sqrt2}2$이다.

[2.3]문항 [2.2]에 의해 호 UY는 반원의 호이다. 반원의 중심을 O라고 하면 $\displaystyle \angle\mathrm{UOV}_k=\frac kn\pi$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{V}_k$에서 선분 UY에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}_k$라고 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{V}_k\mathrm{H}_k}=\frac{3\sqrt2}2\sin\frac kn\pi$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{UYV}_k$의 넓이 $\displaystyle S_k$는$\displaystyle S_k=\frac12\times\overline{\mathrm{UY}}\times\overline{\mathrm{V}_k\mathrm{H}_k}=\frac12\times3\sqrt2\times\frac{3\sqrt2}2\sin\frac kn\pi=\frac92\sin\frac kn\pi$

이다. $\displaystyle \sin\pi=0$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}S_k=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\frac92\sin\frac kn\pi=\frac1\pi\lim_{n\to\infty}\frac\pi n\sum_{k=1}^n\frac92\sin\frac kn\pi=\frac9{2\pi}\int_0^\pi\sin x\,dx=\frac9\pi$이다.