수리형 1교시 1번

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})$라 하자.직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle y=2a(x-a)+a^{2}=2ax-a^{2}$이므로 $\displaystyle l$의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac{a}{2}$이고 $\displaystyle \mathrm{T}\left(\frac{a}{2},0\right)$.따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}+(0-a^{2})^{2}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$직선 $\displaystyle l$에 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^{2}=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle x$절편을 구해보면 점 $\displaystyle \mathrm{S}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{S}(2a^{3}+a,0)$이다. 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{ST}}=2a^{3}+a-\frac{a}{2}=2a^{3}+\frac{a}{2}=2a\left(a^{2}+\frac{1}{4}\right)$$\displaystyle \overline{\mathrm{QS}}=\sqrt{(2a^{3}+a-a)^{2}+(0-a^{2})^{2}}=2a^{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$따라서$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{QS}}\times\overline{\mathrm{ST}}}{\overline{\mathrm{QT}}^{3}}=\frac{2a^{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\times2a\left(a^{2}+\frac{1}{4}\right)}{\left(a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\right)^{3}}=4.$따라서 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 위치와 관계 없이 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{QS}}\times\overline{\mathrm{ST}}}{\overline{\mathrm{QT}}^{3}}$의 값은 일정하다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})$라 하자.직선 $\displaystyle l$에 수직인 직선의 방정식:$\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^{2}=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}$이 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle a^{2}+\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}\left(0,a^{2}+\frac{1}{2}\right)$따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=a^{2}+\frac{1}{2}\qquad\cdots\cdots\ (1)$$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(0-a)^{2}+\left(a^{2}+\frac{1}{2}-a^{2}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\qquad\cdots\cdots\ (2)$문제 1의 결과에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{R}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{U}$라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{TU}}=\overline{\mathrm{QT}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{OU}}=\frac{a}{2}+a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})$라 하자.문제 1에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}},\quad\overline{\mathrm{QR}}=a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}$따라서$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{L}{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}}=\lim_{a\to\infty}2\pi\left(\frac{a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}}{a^{2}+\frac{1}{4}}\right)=2\pi$