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수리형 1교시 1번

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성균관대 2025학년도 수시 수리형 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri1_1

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문제

[문제 1] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제1-ⅰ] ~ [문제1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은 y=f′(a)(x−a)+f(a)\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)이다.

〈제시문 2〉좌표평면 위의 두 직선 y=mx+n\displaystyle y=mx+n, y=m′x+n′\displaystyle y=m^{\prime}x+n^{\prime}에 대하여(1) 두 직선이 서로 수직이면 mm′=−1\displaystyle mm^{\prime}=-1이다.(2) mm′=−1\displaystyle mm^{\prime}=-1이면 두 직선이 수직이다.

〈제시문 3〉아래 그림과 같이 곡선 y=x2\displaystyle y=x^{2} 위의 한 점을 제1사분면 위에서 택하고 이를 Q\displaystyle \mathrm{Q}라 한다. 곡선 y=x2\displaystyle y=x^{2} 위의 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}에서의 접선을 l\displaystyle l이라 한다. 직선 l\displaystyle l이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 T\displaystyle \mathrm{T}라 한다. 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}를 지나고 직선 l\displaystyle l에 수직인 직선이 y\displaystyle y축과 만나는 점을 P\displaystyle \mathrm{P}라 하고, x\displaystyle x축과 만나는 점을 S\displaystyle \mathrm{S}라 한다. 직선 l\displaystyle l과 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}에서 접하고, 동시에 x\displaystyle x축과 접하는 원을 C\displaystyle C라 한다. 단, 원 C\displaystyle C와 x\displaystyle x축의 접점의 x\displaystyle x좌표는 양수이다. 원 C\displaystyle C의 중심을 R\displaystyle \mathrm{R}라고 하고 그 둘레의 길이를 L\displaystyle L이라 한다. 좌표평면의 원점을 O\displaystyle \mathrm{O}라 한다.

곡선 y=x² 위의 제1사분면 점 Q에서의 접선 l과 그에 수직인 직선을 그린 그림. 접선 l은 x축과 점 T에서, 수직인 직선은 y축과 점 P, x축과 점 S에서 만나고, 직선 l과 x축에 동시에 접하는 원 C의 중심이 R로 표시되어 있다.

[문제 1-ⅰ] 〈제시문 3〉에서 주어진 점 Q,S,T\displaystyle \mathrm{Q},\mathrm{S},\mathrm{T}에 대하여, QS‾×ST‾QT‾3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{QS}}\times\overline{\mathrm{ST}}}{\overline{\mathrm{QT}}^{3}}의 값은 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 위치와 관계없이 일정함을 보이고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅱ] 〈제시문 3〉에서 주어진 점 P,Q,R\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}에 대하여, 12PQ‾+QR‾−OP‾\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QR}}-\overline{\mathrm{OP}}의 값은 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 위치와 관계없이 일정함을 보이고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅲ] 〈제시문 3〉에서 정의된 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 x\displaystyle x좌표를 a\displaystyle a라 할 때, 〈제시문 3〉에서 정의된 원 C\displaystyle C의 둘레의 길이 L\displaystyle L에 대하여 lim⁡a→∞LPQ‾2\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{L}{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2025학년도 수시 수리형 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri1_1

[문제 1-ⅰ]

+10점 · 문제에 제시된 직선들로 이루어진 삼각형의 각 변의 길이에 관한 식을 도출하고 이들 사이에 변하지 않는 값을 가지는 관계를 증명할 수 있다.

점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표를 Q(a,a2)\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})라 하자.직선 l\displaystyle l의 방정식은y=2a(x−a)+a2=2ax−a2\displaystyle y=2a(x-a)+a^{2}=2ax-a^{2}이므로 l\displaystyle l의 x\displaystyle x절편은 a2\displaystyle \frac{a}{2}이고 T(a2,0)\displaystyle \mathrm{T}\left(\frac{a}{2},0\right).따라서QT‾=(a2−a)2+(0−a2)2=aa2+14\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}+(0-a^{2})^{2}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}직선 l\displaystyle l에 수직인 직선의 방정식은y=−12a(x−a)+a2=−12ax+a2+12\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^{2}=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}이므로 x\displaystyle x절편을 구해보면 점 S\displaystyle \mathrm{S}의 좌표는 S(2a3+a,0)\displaystyle \mathrm{S}(2a^{3}+a,0)이다. 따라서ST‾=2a3+a−a2=2a3+a2=2a(a2+14)\displaystyle \overline{\mathrm{ST}}=2a^{3}+a-\frac{a}{2}=2a^{3}+\frac{a}{2}=2a\left(a^{2}+\frac{1}{4}\right)QS‾=(2a3+a−a)2+(0−a2)2=2a2a2+14\displaystyle \overline{\mathrm{QS}}=\sqrt{(2a^{3}+a-a)^{2}+(0-a^{2})^{2}}=2a^{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}따라서QS‾×ST‾QT‾3=2a2a2+14×2a(a2+14)(aa2+14)3=4.\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{QS}}\times\overline{\mathrm{ST}}}{\overline{\mathrm{QT}}^{3}}=\frac{2a^{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\times2a\left(a^{2}+\frac{1}{4}\right)}{\left(a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\right)^{3}}=4.따라서 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 위치와 관계 없이 QS‾×ST‾QT‾3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{QS}}\times\overline{\mathrm{ST}}}{\overline{\mathrm{QT}}^{3}}의 값은 일정하다.

[문제 1-ⅱ]

+15점 · 문제에 주어진 곡선 및 직선을 조건에 맞게 수식화하고 이를 바탕으로 다양한 점들 사이의 거리 관계를 도출한 후, 이 점들로 이루어진 선분들 사이의 변하지 않는 값을 가지는 관계를 증명할 수 있다.

점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표를 Q(a,a2)\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})라 하자.직선 l\displaystyle l에 수직인 직선의 방정식:y=−12a(x−a)+a2=−12ax+a2+12\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^{2}=-\frac{1}{2a}x+a^{2}+\frac{1}{2}이 직선의 y\displaystyle y절편은 a2+12\displaystyle a^{2}+\frac{1}{2}이므로 P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표는 P(0,a2+12)\displaystyle \mathrm{P}\left(0,a^{2}+\frac{1}{2}\right)따라서OP‾=a2+12⋯⋯ (1)\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=a^{2}+\frac{1}{2}\qquad\cdots\cdots\ (1)PQ‾=(0−a)2+(a2+12−a2)2=a2+14⋯⋯ (2)\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(0-a)^{2}+\left(a^{2}+\frac{1}{2}-a^{2}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\qquad\cdots\cdots\ (2)문제 1의 결과에 의해QT‾=aa2+14\displaystyle \overline{\mathrm{QT}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}이므로 R\displaystyle \mathrm{R}에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 U\displaystyle \mathrm{U}라 하면TU‾=QT‾=aa2+14\displaystyle \overline{\mathrm{TU}}=\overline{\mathrm{QT}}=a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}따라서OU‾=a2+aa2+14\displaystyle \overline{\mathrm{OU}}=\frac{a}{2}+a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}

이제 선분 QR‾\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}의 길이를 r\displaystyle r이라 하면 점 R\displaystyle \mathrm{R}의 좌표는R(a2+aa2+14, r)\displaystyle \mathrm{R}\left(\frac{a}{2}+a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}},\ r\right)이 된다. 선분 QR‾\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}과 직선 l\displaystyle l은 서로 수직이므로2a×(r−a2a2+aa2+14−a)=−1\displaystyle 2a\times\left(\frac{r-a^{2}}{\frac{a}{2}+a\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}-a}\right)=-1이를 풀면r=a2+14−12a2+14\displaystyle r=a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}따라서QR‾=r=a2+14−12a2+14⋯⋯ (3)\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=r=a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}\qquad\cdots\cdots\ (3)

(1), (2), (3) 으로부터12PQ‾+QR‾−OP‾=12a2+14+a2+14−12a2+14−(a2+12)=−14\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QR}}-\overline{\mathrm{OP}} &=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}+a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}-\left(a^{2}+\frac{1}{2}\right) \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}따라서 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 위치와 관계없이 12PQ‾+QR‾−OP‾\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QR}}-\overline{\mathrm{OP}}의 값은 일정하다.

[문제 1-ⅲ]

+5점 · [문제 1-ii]에서 도출한 원의 둘레의 길이와 점들 사이의 거리가 일정한 값으로 수렴하는 보일 수 있다.

Correction. 채점기준에서 일정한 값으로 수렴하는 것은 원의 둘레의 길이와 두 점 사이의 거리가 아니라 L/PQ‾2\displaystyle L/\overline{PQ}^2이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

점 Q\displaystyle \mathrm{Q}의 좌표를 Q(a,a2)\displaystyle \mathrm{Q}(a,a^{2})라 하자.문제 1에 의해PQ‾=a2+14,QR‾=a2+14−12a2+14\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}},\quad\overline{\mathrm{QR}}=a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}따라서lim⁡a→∞LPQ‾2=lim⁡a→∞2π(a2+14−12a2+14a2+14)=2π\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{L}{\overline{\mathrm{PQ}}^{2}}=\lim_{a\to\infty}2\pi\left(\frac{a^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}}{a^{2}+\frac{1}{4}}\right)=2\pi

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