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수리형 3교시 3번

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성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 3번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri3_3

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[문제 3] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제 3-ⅰ] ~ [문제 3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉세제곱하여 실수 a\displaystyle a가 되는 수, 즉 방정식 x3=a\displaystyle x^{3}=a를 만족시키는 수 x\displaystyle x를 a\displaystyle a의 세제곱근이라 한다. 실수 a\displaystyle a의 세제곱근 중에서 실수인 것은 하나뿐이고, 이것을 a3\displaystyle \sqrt[3]{a}로 나타낸다.

〈제시문 2〉실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 다음과 같은 다항식의 곱셈 공식이 성립한다· (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}· (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

〈제시문 3〉주어진 실수 r\displaystyle r에 대하여 수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}을 an=r×(12)n−1\displaystyle a_{n}=r\times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}으로 정의하고, An=n4+(−1)nan3\displaystyle A_{n}=\sqrt[3]{\frac{n}{4}+(-1)^{n}a_{n}}에 가장 가까운 정수를 bn\displaystyle b_{n}이라 하자. 만약 An\displaystyle A_{n}에 가장 가까운 정수가 두 개 존재하면 두 수 중에서 더 큰 수를 bn\displaystyle b_{n}이라 한다.

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 3〉의 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}에 대하여 r=43\displaystyle r=\frac{4}{3}일 때, b1\displaystyle b_{1}을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 〈제시문 3〉의 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}에 대하여 r=43\displaystyle r=\frac{4}{3}일 때, ∑k=1150bk=b1+b2+⋯+b150\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{150}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] 〈제시문 3〉의 수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}에 대하여 실수 r\displaystyle r이 1<∣r∣<2\displaystyle 1<|r|<2일 때, 가능한 ∑k=1150bk=b1+b2+⋯+b150\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{150}의 값을 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 3번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri3_3

[문제 3-ⅰ]

+5점 · 세제곱근을 부등식을 이용하여 범위를 찾아 가장 가까운 정수를 찾을 수 있다.

수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}의 첫째항이 a1=r=43\displaystyle a_{1}=r=\frac{4}{3}이므로 A1=−13123=−13123\displaystyle A_{1}=\sqrt[3]{-\frac{13}{12}}=-\sqrt[3]{\frac{13}{12}}이다. −32<−13123<−1\displaystyle -\frac{3}{2}<-\sqrt[3]{\frac{13}{12}}<-1이므로 답은 b1=−1\displaystyle b_{1}=-1이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 제시된 수열의 규칙을 찾아 수열의 합을 계산할 수 있다.

수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}의 일반항은 an=43(12)n−1\displaystyle a_{n}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}이다. 우선 bn=M\displaystyle b_{n}=M이라고 할 때 M≥1\displaystyle M\ge1인 경우를 살펴보자. 조건 bn=M\displaystyle b_{n}=M은 부등식 M−12≤An<M+12\displaystyle M-\frac{1}{2}\le A_{n}<M+\frac{1}{2}의 필요충분조건이고 부등식의 세 항이 모두 양수이다. 이 부등식을 세제곱하여 정리하면 아래 부등식이 된다.4M3−6M2+3M−(12+(−1)n4an)≤n<4M3+6M2+3M+(12−(−1)n4an)(\*)\displaystyle 4M^{3}-6M^{2}+3M-\left(\frac{1}{2}+(-1)^{n}4a_{n}\right)\le n<4M^{3}+6M^{2}+3M+\left(\frac{1}{2}-(-1)^{n}4a_{n}\right)\qquad(\*)만약 n≥5\displaystyle n\ge5이면 0<4an≤13\displaystyle 0<4a_{n}\le\frac{1}{3}이므로 두 부등식 0<12+(−1)n4an<1\displaystyle 0<\frac{1}{2}+(-1)^{n}4a_{n}<1, 0<12−(−1)n4an<1\displaystyle 0<\frac{1}{2}-(-1)^{n}4a_{n}<1이 성립하고, 결국 다음 부등식이 (n,M\displaystyle n,M 둘 다 자연수이므로) 부등식 (\*)의 필요충분조건으로 성립한다.4M3−6M2+3M≤n≤4M3+6M2+3M(\*\*)\displaystyle 4M^{3}-6M^{2}+3M\le n\le4M^{3}+6M^{2}+3M\qquad(\*\*)이를 통해 M=1\displaystyle M=1이면 1≤n≤13\displaystyle 1\le n\le13이고, n≥5\displaystyle n\ge5인 경우만 고려하고 있으므로 5≤n≤13\displaystyle 5\le n\le13이다. 이와 비슷하게 M=2\displaystyle M=2이면 14≤n≤62\displaystyle 14\le n\le62, M=3\displaystyle M=3이면 63≤n≤171\displaystyle 63\le n\le171가 성립한다. 즉b5=b6=⋯=b13=1,b14=b15=⋯=b62=2,b63=b64=⋯=b150=3\displaystyle b_{5}=b_{6}=\cdots=b_{13}=1,\quad b_{14}=b_{15}=\cdots=b_{62}=2,\quad b_{63}=b_{64}=\cdots=b_{150}=3이다. 따라서∑k=5150bk=1⋅9+2⋅49+3⋅88=9+98+264=371(\*\*\*)\displaystyle \sum_{k=5}^{150}b_{k}=1\cdot9+2\cdot49+3\cdot88=9+98+264=371\qquad(\*\*\*)이 성립한다.

이제 1≤n≤4\displaystyle 1\le n\le4인 경우를 생각하자. 우선 [문제 1-i]에서 b1=−1\displaystyle b_{1}=-1임을 보였다. 그리고 a2=23\displaystyle a_{2}=\frac{2}{3}이므로 1<A2=763<32\displaystyle 1<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}<\frac{3}{2}이 성립하고 b2=1\displaystyle b_{2}=1이다. 비슷하게 a3=13\displaystyle a_{3}=\frac{1}{3}, a4=16\displaystyle a_{4}=\frac{1}{6}이므로 12<A3=5123<1\displaystyle \frac{1}{2}<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{5}{12}}<1, 1<A4=763<32\displaystyle 1<A_{4}=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}<\frac{3}{2}이 성립하여 b3=b4=1\displaystyle b_{3}=b_{4}=1이다. 그러므로Correction. 대학 해설의 “[문제 1-i]”와 “[문제 1-ii]”는 각각 “[문제 3-i]”와 “[문제 3-ii]”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.∑k=14bk=−1+1+1+1=2\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=-1+1+1+1=2이고 (\*\*\*)를 고려하면 답은 ∑k=1150bk=2+371=373\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}=2+371=373이다.

[문제 3-ⅲ]

+15점 · 제시된 수열의 규칙을 찾아 수열의 합을 계산할 수 있다.

bn=M\displaystyle b_{n}=M이고 M≥1\displaystyle M\ge1이면 [문제 1-ii]에서 부등식 (\*)는 조건 bn=M\displaystyle b_{n}=M의 필요충분조건임을 확인하였다. 실수 r\displaystyle r이 1<∣r∣<2\displaystyle 1<|r|<2를 만족하므로 23(12)n<∣4an∣<24(12)n\displaystyle 2^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}<|4a_{n}|<2^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}이다. 따라서 만약 n≥5\displaystyle n\ge5이면 0<∣4an∣<12\displaystyle 0<|4a_{n}|<\frac{1}{2}이 성립하여 [문제 1-ii]의 경우와 비슷하게 부등식 0<12+(−1)n4an<1\displaystyle 0<\frac{1}{2}+(-1)^{n}4a_{n}<1, 0<12−(−1)n4an<1\displaystyle 0<\frac{1}{2}-(-1)^{n}4a_{n}<1이 성립한다. 따라서 부등식 (\*)는 부등식 (\*\*)이 된다. 이 경우 식 (\*\*\*)에서 ∑k=5150bk=371\displaystyle \sum_{k=5}^{150}b_{k}=371이 됨을 보였다.Correction. 대학 해설의 “[문제 1-i]”와 “[문제 1-ii]”는 각각 “[문제 3-i]”와 “[문제 3-ii]”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이제 ∑k=14bk\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}가 가능한 값을 모두 구하면 된다. 두 가지 경우로 나누어 생각하자.우선 1<r<2\displaystyle 1<r<2라 가정하자. 이 경우−32<−743<A1=14−r3<−343<−12\displaystyle -\frac{3}{2}<-\sqrt[3]{\frac{7}{4}}<A_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}-r}<-\sqrt[3]{\frac{3}{4}}<-\frac{1}{2}이므로 b1=−1\displaystyle b_{1}=-1이다. 나머지 경우도1<A2=12+r23<323<32\displaystyle 1<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{r}{2}}<\sqrt[3]{\frac{3}{2}}<\frac{3}{2}12<143<A3=34−r43<123<1\displaystyle \frac{1}{2}<\sqrt[3]{\frac{1}{4}}<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}-\frac{r}{4}}<\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<11<983<A4=1+r83<543<32\displaystyle 1<\sqrt[3]{\frac{9}{8}}<A_{4}=\sqrt[3]{1+\frac{r}{8}}<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<\frac{3}{2}이 성립하여 b2=b3=b4=1\displaystyle b_{2}=b_{3}=b_{4}=1이 된다. 그러므로 1<r<2\displaystyle 1<r<2이면 ∑k=14bk=2\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2이다.

이제 r=−t\displaystyle r=-t라 놓고 1<t<2\displaystyle 1<t<2라 가정하자. 이 경우 a1=−t\displaystyle a_{1}=-t, a2=−t2\displaystyle a_{2}=-\frac{t}{2}, a3=−t4\displaystyle a_{3}=-\frac{t}{4}, a4=−t8\displaystyle a_{4}=-\frac{t}{8}이 되어 1<t<2\displaystyle 1<t<2인 범위에서1<543<A1=14+t3<943<32\displaystyle 1<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<A_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}+t}<\sqrt[3]{\frac{9}{4}}<\frac{3}{2}−123<A2=12−t23<0\displaystyle -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{t}{2}}<01<A3=34+t43<543<32\displaystyle 1<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}+\frac{t}{4}}<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<\frac{3}{2}12<343<A4=1−t83<783<1\displaystyle \frac{1}{2}<\sqrt[3]{\frac{3}{4}}<A_{4}=\sqrt[3]{1-\frac{t}{8}}<\sqrt[3]{\frac{7}{8}}<1이 성립한다. 이를 통해 b1=b3=b4=1\displaystyle b_{1}=b_{3}=b_{4}=1이고, −1<−123<−12\displaystyle -1<-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<-\frac{1}{2}이므로 b2=−1,0\displaystyle b_{2}=-1,0이 모두 가능하다. 따라서 ∑k=14bk=2\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2 또는 ∑k=14bk=3\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=3이 가능하다.

최종적으로 1<∣r∣<2\displaystyle 1<|r|<2인 경우 ∑k=14bk=2\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2 또는 ∑k=14bk=3\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=3이 가능하므로 가능한 ∑k=1150bk\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}의 값은 373\displaystyle 373 또는 374\displaystyle 374이다.

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