수리형 3교시 3번

[문제 3-ⅰ]

[문제 3-ⅱ]

이제 $\displaystyle 1\le n\le4$인 경우를 생각하자. 우선 [문제 1-i]에서 $\displaystyle b_{1}=-1$임을 보였다. 그리고 $\displaystyle a_{2}=\frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle 1<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}<\frac{3}{2}$이 성립하고 $\displaystyle b_{2}=1$이다. 비슷하게 $\displaystyle a_{3}=\frac{1}{3}$, $\displaystyle a_{4}=\frac{1}{6}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{5}{12}}<1$, $\displaystyle 1<A_{4}=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}<\frac{3}{2}$이 성립하여 $\displaystyle b_{3}=b_{4}=1$이다. 그러므로Correction. 대학 해설의 “[문제 1-i]”와 “[문제 1-ii]”는 각각 “[문제 3-i]”와 “[문제 3-ii]”를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=-1+1+1+1=2$이고 (\*\*\*)를 고려하면 답은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}=2+371=373$이다.

[문제 3-ⅲ]

이제 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}$가 가능한 값을 모두 구하면 된다. 두 가지 경우로 나누어 생각하자.우선 $\displaystyle 1<r<2$라 가정하자. 이 경우$\displaystyle -\frac{3}{2}<-\sqrt[3]{\frac{7}{4}}<A_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}-r}<-\sqrt[3]{\frac{3}{4}}<-\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle b_{1}=-1$이다. 나머지 경우도$\displaystyle 1<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{r}{2}}<\sqrt[3]{\frac{3}{2}}<\frac{3}{2}$$\displaystyle \frac{1}{2}<\sqrt[3]{\frac{1}{4}}<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}-\frac{r}{4}}<\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<1$$\displaystyle 1<\sqrt[3]{\frac{9}{8}}<A_{4}=\sqrt[3]{1+\frac{r}{8}}<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<\frac{3}{2}$이 성립하여 $\displaystyle b_{2}=b_{3}=b_{4}=1$이 된다. 그러므로 $\displaystyle 1<r<2$이면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2$이다.

이제 $\displaystyle r=-t$라 놓고 $\displaystyle 1<t<2$라 가정하자. 이 경우 $\displaystyle a_{1}=-t$, $\displaystyle a_{2}=-\frac{t}{2}$, $\displaystyle a_{3}=-\frac{t}{4}$, $\displaystyle a_{4}=-\frac{t}{8}$이 되어 $\displaystyle 1<t<2$인 범위에서$\displaystyle 1<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<A_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}+t}<\sqrt[3]{\frac{9}{4}}<\frac{3}{2}$$\displaystyle -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<A_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{t}{2}}<0$$\displaystyle 1<A_{3}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}+\frac{t}{4}}<\sqrt[3]{\frac{5}{4}}<\frac{3}{2}$$\displaystyle \frac{1}{2}<\sqrt[3]{\frac{3}{4}}<A_{4}=\sqrt[3]{1-\frac{t}{8}}<\sqrt[3]{\frac{7}{8}}<1$이 성립한다. 이를 통해 $\displaystyle b_{1}=b_{3}=b_{4}=1$이고, $\displaystyle -1<-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}<-\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle b_{2}=-1,0$이 모두 가능하다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2$ 또는 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=3$이 가능하다.

최종적으로 $\displaystyle 1<|r|<2$인 경우 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=2$ 또는 $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}b_{k}=3$이 가능하므로 가능한 $\displaystyle \sum_{k=1}^{150}b_{k}$의 값은 $\displaystyle 373$ 또는 $\displaystyle 374$이다.