성균관대 2025학년도 수시 수리형 2교시 3번 해설

[문제 3] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제 3-ⅰ] ~ [문제 3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle a+\Delta x$ 까지 변할 때의 평균변화율은 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 이다. 여기서 $\displaystyle \Delta x\to0$ 일 때, 평균변화율의 극한값 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ 가 존재하면 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다. 이때 이 극한값을 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 순간변화율 또는 미분계수라 하고, 기호로 $\displaystyle y=f^{\prime}(a)$ 와 같이 나타낸다.

〈제시문 2〉임의의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여, 곡선 $\displaystyle y=-x^{2}$ 과 직선 $\displaystyle y=ax+a$ 의 교점의 개수가 $\displaystyle f(a)$ 가 되도록 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 정의하자.

〈제시문 3〉최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 사차함수 $\displaystyle g(x)$ 와 〈제시문 2〉의 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음 두 조건을 모두 만족한다.Correction. 〈제시문 3〉의 “두 조건”은 “세 조건”이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.· 사차방정식 $\displaystyle g(x)=0$ 은 허근을 가지지 않는다.· 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$ 는 모든 실수에서 연속이다.· 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)$ 는 열린구간 $\displaystyle (2,10)$ 에서 미분가능하다.

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 2〉의 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여, $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 〈제시문 3〉의 함수 $\displaystyle h(x)$ 에 대하여, 가능한 $\displaystyle h(-1)+3h(2)+5h(5)$ 의 값을 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] 〈제시문 3〉의 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 두 방정식 $\displaystyle g(x)=0$ 과 $\displaystyle g^{\prime}(x)+5x^{3}-20x^{2}=0$ 의 실근이 모두 정수이다. 이때 가능한 사차함수 $\displaystyle g(x)$ 의 개수를 구하고, 그 이유를 논하시오.

성균관대 2025학년도 수시 수리형 2교시 3번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri2_3

[문제 3-ⅰ]

+5점 · 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수와 이차방정식의 근의 개수의 관계를 올바르게 이해할 수 있다.

곡선 $\displaystyle y=-x^{2}$ 과 직선 $\displaystyle y=ax+a$ 의 교점의 개수는 이차방정식 $\displaystyle x^{2}+ax+a=0$ 의 실근의 개수와 같고 이는 이차방정식의 판별식으로 결정된다. 판별식이 $\displaystyle a^{2}-4a=a(a-4)$ 이므로 $\displaystyle f(a)=\begin{cases}2 & (a(a-4)>0) \\ 1 & (a(a-4)=0) \\ 0 & (a(a-4)<0)\end{cases}$ 이 된다. 이를 정리하여 함수로 나타내면 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}2 & (x>4) \\ 1 & (x=4) \\ 0 & (0<x<4) \\ 1 & (x=0) \\ 2 & (x<0)\end{cases}\qquad(\*)$ 이다. 따라서 구하는 답은 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+0+0+0+1+2=4$ 이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 도함수의 정의를 정확히 알고 근이 주어진 다항식을 인수분해 할 수 있다.

함수 $\displaystyle h(x)$ 를 (\*)를 이용하여 나타내면 $\displaystyle h(x)=f(x)g(x)=\begin{cases}2g(x) & (x>4) \\ g(4) & (x=4) \\ 0 & (0<x<4) \\ g(0) & (x=0) \\ 2g(x) & (x<0)\end{cases}$ 이다. 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 모든 실수에서 연속이므로 $\displaystyle g(0)=g(4)=0$ 이 성립한다. 따라서 위 식은 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}2g(x) & (x>4) \\ 0 & (0\le x\le4) \\ 2g(x) & (x<0)\end{cases}$ 이다. 그리고 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 이차함수 $\displaystyle k(x)$ 가 존재하여 $\displaystyle g(x)=(x^{2}-4x)k(x)$ 로 표현된다. 상수함수와 다항식은 모든 실수에서 미분가능하므로 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 열린구간 $\displaystyle (2,10)$ 에서 미분가능하려면 $\displaystyle x=4$ 에서 미분가능해야 한다. 그러므로 $\displaystyle h^{\prime}(4)=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}$ 가 존재한다. 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 식을 이용하면 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=0$ 과 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{2g(4+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{2g(4+\Delta x)-2g(4)}{\Delta x}=2g^{\prime}(4)$ 이 되므로 $\displaystyle g^{\prime}(4)=0$ 이 성립한다. 함수의 곱의 미분법을 사용하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=(2x-4)k(x)+(x^{2}-4x)k^{\prime}(x)$ 이 되고 $\displaystyle g^{\prime}(4)=4k(4)=0$ 이 성립하므로 어떤 수 $\displaystyle \alpha$ 가 존재하여 $\displaystyle k(x)=(x-4)(x-\alpha)$ 가 된다. 즉, $\displaystyle g(x)=x(x-4)^{2}(x-\alpha)=(x^{2}-8x+16)(x^{2}-\alpha x)\qquad(\*)$ 형태가 된다. 따라서 $\displaystyle g(-1)=25(1+\alpha)$ , $\displaystyle g(5)=5(5-\alpha)$ 이고 구하는 답은 $\displaystyle h(-1)+3h(2)+5h(5)=2g(-1)+0+10g(5)=50(1+\alpha)+50(5-\alpha)=300$ 이다.

[문제 3-ⅲ]

+15점 · 이차함수의 근과 계수와의 관계를 올바르게 이해하고, 이차방정식의 실근의 개수를 판별식을 통하여 올바르게 찾을 수 있다. 이차부등식을 올바르게 풀 수 있다.

사차함수 $\displaystyle g(x)$ 가 식 (\*)의 형태로 표현될 때 $\displaystyle \alpha$ 는 $\displaystyle g(x)=0$ 의 근이 되므로 실수가 되어야 하고 $\displaystyle g(x)=0$ 의 모든 실근이 정수가 되어야 하므로 $\displaystyle \alpha$ 는 정수이다. 그리고 식 (\*)로부터 $\displaystyle g^{\prime}(x)=(2x-8)(x^{2}-\alpha x)+(x^{2}-8x+16)(2x-\alpha)=(x-4)(4x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha)$ 이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)+5x^{3}-20x^{2}=g^{\prime}(x)+5x^{2}(x-4)=(x-4)(9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha)$ 이다. 따라서 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)+5x^{3}-20x^{2}=0$ 의 실근은 $\displaystyle x=4$ 와 방정식 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$ 의 실근이다. 방정식 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$ 의 계수가 모두 실수이므로 (근과 계수와의 관계를 이용하면) 실근과 허근을 동시에 가지는 경우는 발생하지 않는다.

따라서 만약 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$ 이 실근을 가진다고 하면 어떤 실수 $\displaystyle A,B$ 가 존재하여 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=9(x-A)(x-B)$ 형태가 된다. 해당 방정식의 모든 실근이 정수가 되어야 하므로 $\displaystyle A,B$ 는 정수이고 이 경우 근과 계수의 관계를 통하여 $\displaystyle A+B=\frac{3\alpha+8}{9},\quad A\cdot B=\frac{4\alpha}{9}$ 이 성립한다. 두 번째 식으로부터 어떤 정수 $\displaystyle l$ 가 존재하여 $\displaystyle \alpha=9l$ 이 되지만, 이를 첫 번째 식에 대입하면 $\displaystyle A+B$ 가 정수라는 조건에 모순이 된다. 따라서 방정식 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$ 은 실근을 가지지 않는다. 이는 해당 방정식의 판별식이 음수가 되는 것과 같은 의미이다. 이를 식으로 표현하면 $\displaystyle (3\alpha+8)^{2}-144\alpha<0$ 이고 이를 정리하면 $\displaystyle (3\alpha-16)^{2}<192$ 가 된다. $\displaystyle \alpha$ 가 정수이므로 $\displaystyle -13\le3\alpha-16\le13$ , 즉 $\displaystyle 1\le\alpha\le9$ 이다. 따라서 $\displaystyle \alpha$ 는 $\displaystyle 1\le\alpha\le9$ 인 정수가 모두 가능하다. 각각의 $\displaystyle \alpha$ 에 따라 서로 다른 사차함수 $\displaystyle g(x)$ 가 존재하므로 답은 총 $\displaystyle 9$ 개다.

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수리형 2교시 3번

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