수리형 2교시 3번

곡선 $\displaystyle y=-x^{2}$과 직선 $\displaystyle y=ax+a$의 교점의 개수는 이차방정식 $\displaystyle x^{2}+ax+a=0$의 실근의 개수와 같고 이는 이차방정식의 판별식으로 결정된다. 판별식이 $\displaystyle a^{2}-4a=a(a-4)$이므로$\displaystyle f(a)=\begin{cases}2 & (a(a-4)>0) \\ 1 & (a(a-4)=0) \\ 0 & (a(a-4)<0)\end{cases}$이 된다. 이를 정리하여 함수로 나타내면$\displaystyle f(x)=\begin{cases}2 & (x>4) \\ 1 & (x=4) \\ 0 & (0<x<4) \\ 1 & (x=0) \\ 2 & (x<0)\end{cases}\qquad(\*)$이다. 따라서 구하는 답은 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+0+0+0+1+2=4$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$를 (\*)를 이용하여 나타내면$\displaystyle h(x)=f(x)g(x)=\begin{cases}2g(x) & (x>4) \\ g(4) & (x=4) \\ 0 & (0<x<4) \\ g(0) & (x=0) \\ 2g(x) & (x<0)\end{cases}$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$가 모든 실수에서 연속이므로 $\displaystyle g(0)=g(4)=0$이 성립한다. 따라서 위 식은$\displaystyle h(x)=\begin{cases}2g(x) & (x>4) \\ 0 & (0\le x\le4) \\ 2g(x) & (x<0)\end{cases}$이다. 그리고 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차함수 $\displaystyle k(x)$가 존재하여 $\displaystyle g(x)=(x^{2}-4x)k(x)$로 표현된다. 상수함수와 다항식은 모든 실수에서 미분가능하므로 함수 $\displaystyle h(x)$가 열린구간 $\displaystyle (2,10)$에서 미분가능하려면 $\displaystyle x=4$에서 미분가능해야 한다. 그러므로$\displaystyle h^{\prime}(4)=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}$가 존재한다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 식을 이용하면 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=0$과$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{2g(4+\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{2g(4+\Delta x)-2g(4)}{\Delta x}=2g^{\prime}(4)$이 되므로 $\displaystyle g^{\prime}(4)=0$이 성립한다. 함수의 곱의 미분법을 사용하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=(2x-4)k(x)+(x^{2}-4x)k^{\prime}(x)$이 되고 $\displaystyle g^{\prime}(4)=4k(4)=0$이 성립하므로 어떤 수 $\displaystyle \alpha$가 존재하여 $\displaystyle k(x)=(x-4)(x-\alpha)$가 된다. 즉,$\displaystyle g(x)=x(x-4)^{2}(x-\alpha)=(x^{2}-8x+16)(x^{2}-\alpha x)\qquad(\*)$형태가 된다. 따라서 $\displaystyle g(-1)=25(1+\alpha)$, $\displaystyle g(5)=5(5-\alpha)$이고 구하는 답은$\displaystyle h(-1)+3h(2)+5h(5)=2g(-1)+0+10g(5)=50(1+\alpha)+50(5-\alpha)=300$이다.

사차함수 $\displaystyle g(x)$가 식 (\*)의 형태로 표현될 때 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle g(x)=0$의 근이 되므로 실수가 되어야 하고 $\displaystyle g(x)=0$의 모든 실근이 정수가 되어야 하므로 $\displaystyle \alpha$는 정수이다. 그리고 식 (\*)로부터$\displaystyle g^{\prime}(x)=(2x-8)(x^{2}-\alpha x)+(x^{2}-8x+16)(2x-\alpha)=(x-4)(4x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha)$이고$\displaystyle g^{\prime}(x)+5x^{3}-20x^{2}=g^{\prime}(x)+5x^{2}(x-4)=(x-4)(9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha)$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)+5x^{3}-20x^{2}=0$의 실근은 $\displaystyle x=4$와 방정식 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$의 실근이다. 방정식 $\displaystyle 9x^{2}-(3\alpha+8)x+4\alpha=0$의 계수가 모두 실수이므로 (근과 계수와의 관계를 이용하면) 실근과 허근을 동시에 가지는 경우는 발생하지 않는다.