성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 2번 해설

[문제 2] 다음 〈제시문〉을 읽고 [문제 2-ⅰ] ~ [문제 2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문〉아래 그림과 같이 곡선 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형이 직선 $\displaystyle \mathrm{L}:y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ 에 의해 두 부분으로 나누어진다. 이때 윗부분의 도형을 $\displaystyle \mathrm{P}$ 라하고 아랫부분의 도형을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라고 하자.

곡선 y=1−x²과 x축으로 둘러싸인 도형을 직선 L이 두 부분으로 나눈 그림. 윗부분 P는 빗금, 아랫부분 Q는 회색으로 칠해져 있다.

[문제 2-ⅰ] 〈제시문〉에서 주어진 도형 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 넓이 $\displaystyle \mathrm{S_{P}}$ 와 도형 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 넓이 $\displaystyle \mathrm{S_{Q}}$ 의 비율 $\displaystyle \frac{\mathrm{S_{P}}}{\mathrm{S_{Q}}}$ 를 구하고, 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅱ] 아래 그림과 같이 〈제시문〉에서 주어진 도형 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 에 내접하는 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 가 다음 두 조건을 모두 만족한다.

곡선 y=1−x²과 직선 L 아래 도형 Q에 내접하는 직사각형 ABCD를 그린 그림. 점 B와 C는 x축 위에, 점 A는 직선 L 위에, 점 D는 곡선 위에 있다.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.(2) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 는 직선 $\displaystyle \mathrm{L}:y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ 위에 있고, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 는 곡선 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 위에 있다.

이 조건들을 만족하면서 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 넓이가 최대가 될 때의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 좌표를 $\displaystyle (q,0)$ 이라 하고, $\displaystyle w=q-\frac{1}{2}$ 로 정의하자. 이때 $\displaystyle 8w^{3}+15w^{2}+3w$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 2-ⅲ] 아래 그림과 같이 〈제시문〉에서 주어진 도형 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 직선 $\displaystyle \mathrm{M}:y=\frac{x}{4}+\frac{1}{4}$ 로 나누어 윗부분의 도형을 $\displaystyle \mathrm{R}$ 이라 하자. 이때 도형 $\displaystyle \mathrm{R}$ 에 내접하는 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 는 다음 두 조건을 모두 만족한다.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 직선 $\displaystyle \mathrm{M}:y=\frac{x}{4}+\frac{1}{4}$ 위에 있고, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{17}}{4}$ 이다.(2) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 는 직선 $\displaystyle \mathrm{L}:y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ 위에 있고, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 는 곡선 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 위에 있다.

이때 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 좌표를 구하고 그 이유를 논하시오.

왼쪽은 도형 Q를 직선 M으로 나누어 윗부분 R를 회색으로 칠한 그림, 오른쪽은 그 R에 내접하는 직사각형 ABCD를 그린 그림.

성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri3_2

[문제 2-ⅰ]

+8점 · 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

$\displaystyle \mathrm{S_{P}}+\mathrm{S_{Q}}=\int_{-1}^{1}(1-x^{2})dx=2\Biggl[x-\frac{x^{3}}{3}\Biggr]_{0}^{1}=2\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$ $\displaystyle \mathrm{S_{P}}=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left\{(1-x^{2})-\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\right\}dx=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(-x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)dx=\frac{9}{16}$ $\displaystyle \mathrm{S_{Q}}=\frac{37}{48}$ 이므로 $\displaystyle \frac{S_{P}}{S_{Q}}=\frac{27}{37}$ 이다.답: $\displaystyle \frac{27}{37}$

[문제 2-ⅱ]

+12점 · 주어진 조건을 만족하는 직사각형의 넓이를 변수로 표현할 수 있고, 미분을 통해 극점을 구할 수 있다.

$\displaystyle \mathrm{C}(q,0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(p,0)$ 이라 하면 $\displaystyle \frac{p+1}{2}=1-q^{2}$ , $\displaystyle p=1-2q^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=q-p=q+2q^{2}-1$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}}=1-q^{2}$ 이므로 $\displaystyle f(q)=(1-q^{2})(2q^{2}+q-1)$ $\displaystyle f^{\prime}(q)=-8q^{3}-3q^{2}+6q+1=0$ 이 된다. $\displaystyle q=\frac{1}{2}+w$ 이라고 하면 $\displaystyle 8w^{3}+15w^{2}+3w=\frac{9}{4}$ 답: $\displaystyle \frac{9}{4}$

(부연 설명) $\displaystyle f(q)=(1-q^{2})(2q^{2}+q-1)$ 에 대해 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ , $\displaystyle f(1)=0$ $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=-1-\frac{3}{4}+3+1=\frac{9}{4}>0$ , $\displaystyle f^{\prime}(1)=-11+7=-4<0$ $\displaystyle H(q)=f^{\prime}(q)=-8q^{3}-3q^{2}+6q+1$ 으로 두고 이를 미분하면 $\displaystyle H^{\prime}(q)=-24q^{2}-6q+6$ 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$ 에서 $\displaystyle H^{\prime}(q)<0$ $\displaystyle H\left(\frac{1}{2}\right)=f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)>0$ , $\displaystyle H(1)=f^{\prime}(1)<0$ 이므로 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},1\right)$ 에서 $\displaystyle H(q)=0$ 인 $\displaystyle q$ 가 유일하게 존재한다. 즉 $\displaystyle f^{\prime}(q)=0$ 이고 이때의 $\displaystyle q$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 값의 부호가 양에서 음으로 변하므로 $\displaystyle q$ 에서 $\displaystyle f(q)$ 가 최댓값이 된다.

[문제 2-ⅲ]

+10점 · 주어진 조건을 만족하는 직사각형의 좌표를 직선의 방정식을 활용하여 구할 수 있다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표를 $\displaystyle \left(w,\frac{w+1}{2}\right)$ 이라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=\frac{\sqrt{17}}{4}$ , $\displaystyle \mathrm{AD}$ 의 기울기 $\displaystyle =\frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle (\mathrm{D}\text{의 }x\text{좌표})-(\mathrm{A}\text{의 }x\text{좌표})=\overline{\mathrm{AD}}\times\frac{4}{\sqrt{17}}=1$ $\displaystyle \therefore$ 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 는 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}:y=\frac{1}{4}(x-w)+\frac{1}{2}(w+1)$ 와 곡선 $\displaystyle y=1-x^{2}$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표이므로,Correction. 점 $\displaystyle D$ 는 교점 자체이고, 그 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle w+1$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle x=w+1$ 은 $\displaystyle \frac{1}{4}(x-w)+\frac{1}{2}(w+1)=1-x^{2}$ 의 해가 된다. $\displaystyle \therefore\ 4w^{2}+10w+3=0$ , $\displaystyle w=\frac{-5+\sqrt{13}}{4}$ $\displaystyle \mathrm{B}\left(a,\frac{a+1}{4}\right)$ 이라 하자.직선 $\displaystyle \mathrm{BA}$ 와 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 는 수직이므로 기울기가 $\displaystyle -4$ 이다.따라서, $\displaystyle \mathrm{BA}:y=-4(x-a)+\frac{a+1}{4}$ 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 직선 $\displaystyle \mathrm{BA}$ 와 $\displaystyle y=\frac{x+1}{2}$ 만나는 점이라고 하면점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표인 $\displaystyle w$ 는 $\displaystyle -4(w-a)+\frac{a+1}{4}=\frac{w+1}{2}$ 를 만족한다. $\displaystyle w=\frac{1}{18}(-1+17a)$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{18}(-1+17a)=\frac{-5+\sqrt{13}}{4}$ . $\displaystyle \therefore a=\frac{-43+9\sqrt{13}}{34}$ 이고 $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac{-43+9\sqrt{13}}{34},\frac{-9+9\sqrt{13}}{136}\right)$ 답: $\displaystyle \left(\frac{-43+9\sqrt{13}}{34},\frac{-9+9\sqrt{13}}{136}\right)$

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수리형 3교시 2번

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