수리형 1교시 2번

$\displaystyle a>0$인 경우 $\displaystyle [-2,0]$과 $\displaystyle [0,a]$ 구간으로 나누어 적분하면$\displaystyle \int_{-2}^{0}f(t)dt=\int_{-2}^{0}(-t)dt=2$$\displaystyle \int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{0}^{a}(t^{2}+2t)dt=\frac{a^{3}}{3}+a^{2}.$이다. 따라서 아래와 같은 적분식을 얻는다.$\displaystyle \int_{-2}^{a}f(t)dt=\frac{a^{3}}{3}+a^{2}+2..$그러므로 주어진 식은 다음과 같다: $\displaystyle \frac{a^{3}}{3}+a^{2}+2=\frac{32-3a}{3}$. 이 식을 정리하면 $\displaystyle a^{3}+3a^{2}+3a=26$이 되고, 해를 구하면 $\displaystyle a=2$가 된다.

적분의 영역을 $\displaystyle [-2,0]$, $\displaystyle [0,1]$, $\displaystyle [1,2]$로 나누어 계산하자.$\displaystyle \int_{-2}^{0}(-t)(1-t)dt=\int_{-2}^{0}(t^{2}-t)dt=\Biggl[\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}\Biggr]_{-2}^{0}=\frac{8}{3}+2$$\displaystyle \int_{0}^{1}(t^{2}+2t)(1-t)dt=\int_{0}^{1}(-t^{3}-t^{2}+2t)dt=\Biggl[-\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+t^{2}\Biggr]_{0}^{1}=\frac{5}{12}$$\displaystyle \int_{1}^{2}(t^{2}+2t)(t-1)dt=\int_{1}^{2}(t^{3}+t^{2}-2t)dt=\Biggl[\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{3}}{3}-t^{2}\Biggr]_{1}^{2}=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}$따라서 전체 적분값은 $\displaystyle \frac{16}{3}+\frac{17}{6}=\frac{49}{6}$이다.

주어진 함수의 적분을 적분의 구간을 $\displaystyle [-2,-\sqrt{2}]$, $\displaystyle [-\sqrt{2},1]$, $\displaystyle [1,\sqrt{2}]$, $\displaystyle [\sqrt{2},2]$로 나누어 계산하자.$\displaystyle \begin{aligned} I_{1} &=\int_{-2}^{-\sqrt{2}}f(t^{2}-2)|t-1|dt \\ &=\int_{-2}^{-\sqrt{2}}\left((t^{2}-2)^{2}+2(t^{2}-2)\right)(1-t)dt \\ &=\int_{-2}^{-\sqrt{2}}(t^{4}-2t^{2})(1-t)dt \\ &=\int_{-2}^{-\sqrt{2}}(-t^{5}+t^{4}+2t^{3}-2t^{2})dt. \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} I_{2} &=\int_{-\sqrt{2}}^{1}f(t^{2}-2)|t-1|dt \\ &=\int_{-\sqrt{2}}^{1}(2-t^{2})(1-t)dt=\int_{-\sqrt{2}}^{1}(t^{3}-t^{2}-2t+2)dt \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} I_{3} &=\int_{1}^{\sqrt{2}}f(t^{2}-2)|t-1|dt=\int_{1}^{\sqrt{2}}(2-t^{2})(t-1)dt \\ &=\int_{1}^{\sqrt{2}}(-t^{3}+t^{2}+2t-2)dt \end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned} I_{4} &=\int_{\sqrt{2}}^{2}f(t^{2}-2)|t-1|dt=\int_{\sqrt{2}}^{2}(t^{4}-2t^{2})(t-1)dt \\ &=\int_{\sqrt{2}}^{2}(t^{5}-t^{4}-2t^{3}+2t^{2})dt \end{aligned}$

$\displaystyle g(x)=\frac{2x^{3}}{3}-2x^{2}+12x+\int_{-10}^{x}(1-t)f(t)dt-\int_{-10}^{x}(4-t)f(t-3)dt$적분과 미분의 관계를 활용하여 함수 $\displaystyle g(x)$를 미분하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=2x^{2}-4x+12+(1-x)f(x)-(4-x)f(x-3)$임을 알 수 있다. 이제 $\displaystyle x$의 구간을 $\displaystyle x\le0$, $\displaystyle 0\le x<3$, $\displaystyle x\ge3$으로 나누어 $\displaystyle g^{\prime}(x)$의 개형을 조사하자.