수리형 2교시 2번

두 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{C}$는 직선 $\displaystyle y=a(x-a)$와 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=4$의 두 교점이 된다. 이 두 식을 연립하여 변수 $\displaystyle x$를 소거한 후, $\displaystyle y$에 대해서 풀면, $\displaystyle y=\pm\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$를 얻는다. 이제 다음 세 가지 경우로 나누어 생각해보자.$\displaystyle a>0$인 경우:이 경우에 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle f(a)<0$이므로, $\displaystyle f(a)=-\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$를 얻는다.$\displaystyle a<0$인 경우:이 경우에 $\displaystyle a<0$이고 $\displaystyle f(a)>0$이므로, $\displaystyle f(a)=-\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$를 얻는다.$\displaystyle a=0$인 경우:이 경우에 $\displaystyle f(a)=0$이고 $\displaystyle -\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$에 $\displaystyle a=0$을 대입한 값도 $\displaystyle 0$이므로, $\displaystyle f(a)=-\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$이 성립한다.따라서, 이를 종합하면 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여, $\displaystyle f(a)=-\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}$임을 알 수 있다.

[문제 2-i]의 결과로부터 $\displaystyle |f(a)-g(a)|=\frac{2|a+1|}{\sqrt{1+a^{2}}}$이다. 이 값이 $\displaystyle 1$이 되기 위해서는 $\displaystyle 2|a+1|=\sqrt{1+a^{2}}$이 성립해야 한다. 양변을 제곱해서 이차방정식의 근을 구하면, $\displaystyle a=\frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}$을 얻는다.답: $\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}$

직선 $\displaystyle \mathrm{AC}$가 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$와 접할 때, $\displaystyle (0,0)$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AC}$에 이르는 거리는 $\displaystyle 2$와 같게 된다. 직선 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 방정식은 $\displaystyle ax-y-a^{2}=0$이므로, 한 점에서 직선에 이르는 거리에 관한 공식으로부터 $\displaystyle \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+1}}=2$를 얻는다. 양변을 제곱하면, $\displaystyle \frac{a^{4}}{a^{2}+1}=4$이므로 $\displaystyle a^{4}-4a^{2}-4=0$으로부터 $\displaystyle a^{2}=2\sqrt{2}+2$를 얻는다.답: $\displaystyle 2\sqrt{2}+2$

$\displaystyle t=2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)$라고 놓자. $\displaystyle \left|f\left(2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)\right)\right|=\sqrt{3}$으로부터 $\displaystyle \frac{|2t|}{\sqrt{t^{2}+1}}=\sqrt{3}$이 된다. 양변을 제곱한 후에 정리하면, $\displaystyle t^{2}=3$을 얻는다. 이로부터 $\displaystyle t=2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)=\pm\sqrt{3}$이 되는 양수 $\displaystyle a$를 찾아보자.$\displaystyle 0<a\le4$일 때, $\displaystyle 2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)=\pm\sqrt{3}$이 되는 $\displaystyle a$의 값을 찾아보면, $\displaystyle \frac{2}{3},\ \frac{4}{3},\ \frac{8}{3},\ \frac{10}{3}$ 네 값 뿐임을 알 수 있다. 이제 $\displaystyle 2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)$는 주기를 $\displaystyle 4$로 갖는 주기함수임을 이용하면, $\displaystyle 2\sin\left(\frac{\pi}{2}a\right)=\pm\sqrt{3}$이 되는 양수 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle a=\frac{2}{3}+2(k-1)$ 또는 $\displaystyle a=\frac{4}{3}+2(k-1)$ (단, $\displaystyle k$는 자연수) 뿐임을 알 수 있다. 따라서, 이 값들을 크기 순서로 나열하여 얻어지는 수열 $\displaystyle \{a_{n}\}$은 다음과 같이 쓸 수 있다. $\displaystyle a_{2k-1}=\frac{2}{3}+2(k-1)$이고 $\displaystyle a_{2k}=\frac{4}{3}+2(k-1)$이고, 이로부터$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_{k} &=\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{8}{3}+\frac{10}{3}\right)+\left(\frac{14}{3}+\frac{16}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{2}{3}+2(n-1)+\frac{4}{3}+2(n-1)\right) \\ &=2+6+10+\cdots+(4n-2)=2n^{2} \end{aligned}$이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^{62}a_{k}=1922$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{64}a_{k}=2048$을 얻는다.또한 $\displaystyle a_{63}=\frac{188}{3}$, $\displaystyle a_{64}=\frac{190}{3}$이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^{63}a_{k}<2025<\sum_{k=1}^{64}a_{k}$이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^{m}a_{k}>2025$를 만족하는 최소의 자연수 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 64$임을 알 수 있다.답: $\displaystyle 64$