수리형 3교시 1번

원의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 하자.$\displaystyle 0<\theta<\alpha$인 경우:$\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\theta$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAD}$에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin\theta}=2r$이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$를 얻는다.$\displaystyle \alpha<\theta<\pi$인 경우:$\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\pi-\theta$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAD}$에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin(\pi-\theta)}=2r$이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$를 얻는다.$\displaystyle \theta=\alpha$인 경우:더 긴 길이를 같는 호 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 위에 양 끝점이 아닌 임의의 점을 $\displaystyle \mathrm{E}$라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACE}$에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin\alpha}=2r$이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\alpha}$를 얻는다.따라서 모든 경우에 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$를 얻는다.답: $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$

원이 점 $\displaystyle \mathrm{D}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BD}$와 접할 경우, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$는 이등변삼각형이 된다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BD}}=4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=3$, $\displaystyle \angle\mathrm{BCD}=\alpha$이므로 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 4^{2}=4^{2}+3^{2}-2\cdot4\cdot3\cos\alpha$를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{3}{8}$임을 알 수 있다. 이로부터 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{55}}{8}$이 되고, [문제 1-i]의 결과를 적용하면, $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\alpha}=\frac{12}{\sqrt{55}}$임을 알 수 있다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^{2}=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$를 얻는다. 이제 다음 두 경우를 나누어서 생각해보자.$\displaystyle 0<\theta<\alpha$인 경우:$\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}(\overline{\mathrm{BD}}+f(\theta))=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=25-24\cos\theta+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)$이므로 $\displaystyle f(\theta)=\frac{24\cos\theta-9}{\sqrt{25-24\cos\theta}}$를 얻는다.$\displaystyle \alpha<\theta<\pi$인 경우:$\displaystyle 4^{2}=(\overline{\mathrm{BD}}-f(\theta))\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=25-24\cos\theta-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)$이므로 $\displaystyle f(\theta)=\frac{9-24\cos\theta}{\sqrt{25-24\cos\theta}}$를 얻는다.이제 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{\pi}{2}$이므로, 위에서 얻은 $\displaystyle f(\theta)$에 대한 첫 번째 경우의 식으로부터 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{13}}$과 두 번째 경우의 식으로부터 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{9}{5}$를 얻는다.답: $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{13}}$, $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{9}{5}$

다음 세 가지 경우로 나누어서 생각해보자.$\displaystyle \theta=\alpha$인 경우:점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 점 $\displaystyle \mathrm{D}$와 같으므로 $\displaystyle f(\theta)=0$이다. 한편, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{DC}}=3$이므로, 이 경우에 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$와 같지 않게 된다.$\displaystyle 0<\theta<\alpha$인 경우:$\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}(\overline{\mathrm{BD}}+f(\theta))=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}$가 성립한다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$는 서로 닮음이므로, $\displaystyle 3:\overline{\mathrm{AC}}=4:(f(\theta)+\overline{\mathrm{BD}})$를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle 4\overline{\mathrm{AC}}=3(f(\theta)+\overline{\mathrm{BD}})=3\cdot\frac{16}{\overline{\mathrm{BD}}}$이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}=12$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+12$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=2$를 얻는다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 4=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$로부터 $\displaystyle \cos\theta=\frac{7}{8}$을 얻는다.$\displaystyle \alpha<\theta<\pi$인 경우:$\displaystyle 4^{2}=(\overline{\mathrm{BD}}-f(\theta))\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}$가 성립한다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$는 서로 닮음이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:3=4:\overline{\mathrm{BD}}$를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}=12$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-12$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=2\sqrt{7}$을 얻는다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 28=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$로부터 $\displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{8}$을 얻는다.답: $\displaystyle \frac{7}{8},\ -\frac{1}{8}$