수리형 3교시 1번

성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri3_1

[문제 1] 다음 〈제시문〉을 읽고 [문제 1-ⅰ] ~ [문제 1-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

〈제시문〉좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D}$ 를 다음과 같이 정의하자.· 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 좌표는 각각 $\displaystyle (-4,0)$ 과 $\displaystyle (0,0)$ 이다.· 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 양수이고, 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 길이는 $\displaystyle 3$ 이다.점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 접하고, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 지나는 원을 생각하자. 직선 $\displaystyle \mathrm{BD}$ 가 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 제외하고 이 원과 다시 만나는 점을 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 라 하자. $\displaystyle \angle\mathrm{BCD}=\theta$ 라 할 때, 함수 $\displaystyle f(\theta)$ 를 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 의 길이로 정의하자. 단, 원이 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BD}$ 와 접할 경우에는, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 로 정의하고 그때의 $\displaystyle \theta$ 의 값을 $\displaystyle \alpha$ 라고 하며 $\displaystyle f(\alpha)=0$ 으로 정의한다. $\displaystyle 0<\theta<\alpha$ 일 때, 제시된 상황을 그림으로 나타내면 아래와 같다.

점 C에서 x축에 접하고 점 D를 지나는 원을 그린 그림. 직선 BD가 원과 다시 만나는 점이 A이고, 각 BCD가 θ로 표시되어 있다.

[문제 1-ⅰ] 〈제시문〉에 주어진 원의 반지름을 $\displaystyle \theta$ 에 관한 식으로 표현하고, 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅱ] 〈제시문〉에 주어진 $\displaystyle \alpha$ 와 원에 대하여 $\displaystyle \cos\alpha$ 의 값과 원의 반지름을 각각 구하고, 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅲ] 〈제시문〉에 주어진 함수 $\displaystyle f(\theta)$ 에 대하여, $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 와 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 의 값을 각각 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 1-ⅳ] 〈제시문〉에 주어진 함수 $\displaystyle f(\theta)$ 의 값이 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 의 길이와 같을 때, $\displaystyle \cos\theta$ 의 값을 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2025학년도 수시 수리형 3교시 1번 · mathesis.kr/archive/skku/2025su/suri3_1

[문제 1-ⅰ]

+9점 · 제시문에 주어진 삼각형

\displaystyle \mathrm{ACD}

의 외접원의 반지름을 사인법칙을 활용하여 제대로 구할 수 있다.

원의 반지름을 $\displaystyle r$ 이라고 하자. $\displaystyle 0<\theta<\alpha$ 인 경우: $\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\theta$ 이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAD}$ 에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin\theta}=2r$ 이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$ 를 얻는다. $\displaystyle \alpha<\theta<\pi$ 인 경우: $\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\pi-\theta$ 이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CAD}$ 에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin(\pi-\theta)}=2r$ 이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$ 를 얻는다. $\displaystyle \theta=\alpha$ 인 경우:더 긴 길이를 같는 호 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 위에 양 끝점이 아닌 임의의 점을 $\displaystyle \mathrm{E}$ 라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACE}$ 에 사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \frac{3}{\sin\alpha}=2r$ 이므로 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\alpha}$ 를 얻는다.따라서 모든 경우에 $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$ 를 얻는다.답: $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\theta}$

[문제 1-ⅱ]

+10점 · 제시문에 주어진 직선

\displaystyle \mathrm{BD}

가 원과 접하는 경우, 코사인법칙을 활용하여

\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{BCD}

와 삼각형

\displaystyle \mathrm{ACD}

의 외접원의 반지름을 제대로 구할 수 있다.

Comment. 이 문제에서는 직선 $\displaystyle BD$ 가 원에 접할 때 $\displaystyle A=D$ , $\displaystyle f(\alpha)=0$ 으로 정한다. 대학 예시답안도 이 경우를 따로 나누어, 긴 호 $\displaystyle AC$ 위에 양 끝점이 아닌 점 $\displaystyle E$ 를 잡고 삼각형 $\displaystyle ACE$ 에 사인법칙을 적용한다. 따라서 대학 예시답안처럼 원의 반지름을 구해도 무방하다. 채점기준의 “삼각형 $\displaystyle ACD$ 의 외접원”은 제시문에서 정의한 원을 가리키는 것으로 이해하면 된다.

원이 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BD}$ 와 접할 경우, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 는 이등변삼각형이 된다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BD}}=4$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=3$ , $\displaystyle \angle\mathrm{BCD}=\alpha$ 이므로 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 4^{2}=4^{2}+3^{2}-2\cdot4\cdot3\cos\alpha$ 를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{3}{8}$ 임을 알 수 있다. 이로부터 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{55}}{8}$ 이 되고, [문제 1-i]의 결과를 적용하면, $\displaystyle r=\frac{3}{2\sin\alpha}=\frac{12}{\sqrt{55}}$ 임을 알 수 있다.

(별해)선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{H}$ 라고 하면, $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\overline{\mathrm{CH}}}{\overline{\mathrm{BC}}}=\frac{3/2}{4}=\frac{3}{8}$ 을 얻는다.답: $\displaystyle \cos\alpha=\frac{3}{8}$ , $\displaystyle r=\frac{12}{\sqrt{55}}$

[문제 1-ⅲ]

+10점 ·

\displaystyle \angle\mathrm{BCD}

가

\displaystyle \alpha

보다 작은 경우와 큰 경우에 점

\displaystyle \mathrm{A}

와 점

\displaystyle \mathrm{D}

의 위치 관계를 제대로 구분할 수 있고, 각각의 경우에 코사인법칙을 활용하여 선분

\displaystyle \mathrm{AD}

의 길이를 제대로 구할 수 있다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^{2}=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$ 를 얻는다. 이제 다음 두 경우를 나누어서 생각해보자. $\displaystyle 0<\theta<\alpha$ 인 경우: $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}(\overline{\mathrm{BD}}+f(\theta))=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=25-24\cos\theta+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)$ 이므로 $\displaystyle f(\theta)=\frac{24\cos\theta-9}{\sqrt{25-24\cos\theta}}$ 를 얻는다. $\displaystyle \alpha<\theta<\pi$ 인 경우: $\displaystyle 4^{2}=(\overline{\mathrm{BD}}-f(\theta))\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=25-24\cos\theta-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)$ 이므로 $\displaystyle f(\theta)=\frac{9-24\cos\theta}{\sqrt{25-24\cos\theta}}$ 를 얻는다.이제 $\displaystyle \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 이므로, 위에서 얻은 $\displaystyle f(\theta)$ 에 대한 첫 번째 경우의 식으로부터 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{13}}$ 과 두 번째 경우의 식으로부터 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{9}{5}$ 를 얻는다.답: $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{13}}$ , $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{9}{5}$

[문제 1-ⅳ]

+11점 · 선분

\displaystyle \mathrm{AD}

와 선분

\displaystyle \mathrm{AC}

의 길이가 서로 같아지는 경우에 코사인법칙을 활용하여

\displaystyle \angle\mathrm{BCD}

를 제대로 구할 수 있다.

다음 세 가지 경우로 나누어서 생각해보자. $\displaystyle \theta=\alpha$ 인 경우:점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 는 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 와 같으므로 $\displaystyle f(\theta)=0$ 이다. 한편, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{DC}}=3$ 이므로, 이 경우에 $\displaystyle f(\theta)$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 와 같지 않게 된다. $\displaystyle 0<\theta<\alpha$ 인 경우: $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}(\overline{\mathrm{BD}}+f(\theta))=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}$ 가 성립한다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$ 는 서로 닮음이므로, $\displaystyle 3:\overline{\mathrm{AC}}=4:(f(\theta)+\overline{\mathrm{BD}})$ 를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle 4\overline{\mathrm{AC}}=3(f(\theta)+\overline{\mathrm{BD}})=3\cdot\frac{16}{\overline{\mathrm{BD}}}$ 이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}=12$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}+12$ 로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=2$ 를 얻는다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 4=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$ 로부터 $\displaystyle \cos\theta=\frac{7}{8}$ 을 얻는다. $\displaystyle \alpha<\theta<\pi$ 인 경우: $\displaystyle 4^{2}=(\overline{\mathrm{BD}}-f(\theta))\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot f(\theta)=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}$ 가 성립한다. 한편, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAC}$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 는 서로 닮음이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:3=4:\overline{\mathrm{BD}}$ 를 얻는다. 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}=12$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle 4^{2}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-\overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}^{2}-12$ 로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=2\sqrt{7}$ 을 얻는다. 이제 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BCD}$ 에 코사인법칙을 적용하면, $\displaystyle 28=9+16-2\cdot3\cdot4\cos\theta=25-24\cos\theta$ 로부터 $\displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{8}$ 을 얻는다.답: $\displaystyle \frac{7}{8},\ -\frac{1}{8}$

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