성균관대 2025학년도 수시 수리형 1교시 3번 해설

[문제 3] 다음 〈제시문 1〉 ~ 〈제시문 3〉을 읽고 [문제3-ⅰ]~[문제3-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

〈제시문 1〉함수 $\displaystyle f(x)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 일 때, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가· 양에서 음으로 바뀌면, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.· 음에서 양으로 바뀌면, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

〈제시문 2〉함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

〈제시문 3〉정수 $\displaystyle a,b,c$ 에 대하여 삼차함수 $\displaystyle f(x)=4x^{3}+3ax^{2}+2bx+c$ 가 다음의 두 조건을 모두 만족한다.· 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 은 서로 다른 세 실근 $\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 을 가진다. (단, $\displaystyle \alpha_{1}<\alpha_{2}<\alpha_{3}$ )· 모든 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 닫힌구간 $\displaystyle [n,n+1]$ 은 세 실근 $\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 중 많아야 하나를 포함한다.

[문제 3-ⅰ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle a=-1$ , $\displaystyle b=-3$ 일 때, 가능한 모든 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 개수를 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅱ] 〈제시문 3〉에서 $\displaystyle b=0$ 이고 세 실근 $\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 중 두 수가 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$ 에 포함될 때, 가능한 $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|$ 의 값을 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

[문제 3-ⅲ] [문제 3-ⅱ]의 조건을 모두 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여, 정수 계수를 가지는 사차함수 $\displaystyle y=g(x)$ 가 $\displaystyle g^{\prime}(x)=f(x)$ 이고 사차방정식 $\displaystyle g(x)=0$ 이 서로 다른 네 개의 실근을 가진다고 한다. 이때 가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 를 모두 구하고 그 이유를 논하시오.

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[문제 3-ⅰ]

+10점 · 이차부등식과 이차함수의 관계, 도함수를 통해 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

함수 $\displaystyle f(x)=4x^{3}-3x^{2}-6x+c$ 를 미분하여, $\displaystyle f^{\prime}(x)=12x^{2}-6x-6=6(2x+1)(x-1)$ 를 얻게 된다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 은 두 개의 근 $\displaystyle x=-\frac{1}{2},1$ 를 얻게 되어 $\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)f(1)=\left(c+\frac{7}{4}\right)(c-5)<0$ 이 성립한다. 이로부터 $\displaystyle -\frac{7}{4}<c<5$ 를 얻게 되어, $\displaystyle -1\le c\le4$ 이다.

(i) $\displaystyle c=-1$ 일 때, $\displaystyle f(0)=-1<0$ 이므로 $\displaystyle \alpha_{1}<-\frac{1}{2}<\alpha_{2}<0<\alpha_{3}$ 이 성립한다. 따라서, 실근 $\displaystyle \alpha_{2}$ 이 닫힌구간 $\displaystyle [-1,0]$ 에 포함되므로 $\displaystyle \alpha_{1}<-1$ 이다. 이 경우, $\displaystyle 0<f(-1)=-2$ 가 되어 모순이다.

(ii) $\displaystyle c=0$ 일 때, $\displaystyle f(x)=x(4x^{2}-3x-6)$ 이므로, $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{3-\sqrt{105}}{8},\ \alpha_{2}=0,\ \alpha_{3}=\frac{3+\sqrt{105}}{8}$ 이고 $\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2}$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,0]$ 에 포함되어 모순이다.

(iii) $\displaystyle c=1,2,3,4$ 일 때, $\displaystyle f(0)=c>0$ 이고 $\displaystyle f(1)=c-5<0$ 이므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 은 $\displaystyle \alpha_{2}$ 만을 포함한다.

따라서, 가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 개수는 $\displaystyle 4$ 이다.

[문제 3-ⅱ]

+10점 · 삼차함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있고, 삼차방정식을 풀 수 있다.

함수 $\displaystyle f(x)=4x^{3}+3ax^{2}+c$ 를 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=12x^{2}+6ax=6x(2x+a)$ 를 얻게 된다. 세 개의 근이 존재하기 위해선 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 이 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 하므로 $\displaystyle a\ne0$ 이고 $\displaystyle f(0)f\left(-\frac{a}{2}\right)=c\left(c+\frac{a^{3}}{4}\right)<0$ 이다. 이로부터 $\displaystyle ac<0$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ 이므로 삼차방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 은 적어도 하나의 음의 근을 가져야 한다. 따라서 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$ 에는 $\displaystyle \alpha_{2},\alpha_{3}$ 가 포함된다. $\displaystyle \alpha_{2}=0$ 일 때, $\displaystyle f(x)=4x^{3}+3ax^{2}=0$ 은 중근 $\displaystyle x=0$ 을 갖게 되어 가능하지 않다.그러므로 $\displaystyle \alpha_{1}<0<\alpha_{2}<1<\alpha_{3}\le2$ 가 성립하고, $\displaystyle f(0)=c>0,\ f(1)=4+3a+c<0,\ f(2)=32+12a+c\ge0$ 이다. $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 가 정수이므로, $\displaystyle c\ge1,\ 3a+c\le-5,\ 12a+c\ge-32$ 이다. $\displaystyle 1\le c\le-3a-5$ 와 $\displaystyle -32-12a\le c\le-3a-5$ 로부터 $\displaystyle a=-2,-3$ 이다.

(i) $\displaystyle a=-2$ 일 때, $\displaystyle c=1$ 이고 $\displaystyle f(x)=4x^{3}-6x^{2}+1=(2x-1)(2x^{2}-2x-1)$ 이므로 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \alpha_{2}=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \alpha_{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 을 얻게 된다. 이 경우, $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$ 이다.

(ii) $\displaystyle a=-3$ 일 때, $\displaystyle c=4$ 이고 $\displaystyle f(x)=4x^{3}-9x^{2}+4=(x-2)(4x^{2}-x-2)$ 이므로 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{1-\sqrt{33}}{8}$ , $\displaystyle \alpha_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{8}$ , $\displaystyle \alpha_{3}=2$ 를 얻게 된다. 이 경우, $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|=2+\frac{\sqrt{33}}{4}$ 이다.

따라서, 가능한 $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|$ 의 값은 $\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3}$ , $\displaystyle 2+\frac{\sqrt{33}}{4}$ 이다.

[문제 3-ⅲ]

+10점 · 미분을 통해 사차함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.

(i) 먼저 $\displaystyle f(x)=4x^{3}-6x^{2}+1$ 이라고 가정하면, $\displaystyle g(x)=x^{4}-2x^{3}+x+d$ 이고 $\displaystyle d$ 는 정수이다. 문제의 조건으로부터 $\displaystyle g(\alpha_{1})<0$ , $\displaystyle g(\alpha_{2})=g\left(\frac{1}{2}\right)>0$ 이고, $\displaystyle g(\alpha_{3})<0$ 을 만족해야 한다. $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{16}+d>0$ 으로부터 $\displaystyle d\ge0$ 이 성립한다. 한편, $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}$ 에 대해 $\displaystyle g(\alpha)=\alpha^{4}-2\alpha^{3}+\alpha+d=d-\frac{1}{4}<0$ 을 얻게 되어 $\displaystyle d\le0$ 이다. 따라서, $\displaystyle g(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)$ 이고 서로 다른 네 개의 실근을 가진다.

(ii) $\displaystyle f(x)=4x^{3}-9x^{2}+4$ 이라고 가정하면, $\displaystyle g(x)=x^{4}-3x^{3}+4x+d$ 이고 $\displaystyle d$ 는 정수이다. 문제의 조건으로부터 $\displaystyle g(\alpha_{1})<0$ , $\displaystyle g(\alpha_{2})>0$ 이고, $\displaystyle g(\alpha_{3})=g(2)<0$ 을 만족해야 한다. $\displaystyle g(2)=d<0$ 으로부터 $\displaystyle d\le-1$ 이 성립한다. $\displaystyle g(0)=d\le-1$ 이므로, $\displaystyle g(x)=0$ 은 $\displaystyle \alpha_{1}$ 보다 작은 근을 하나 가진다. 따라서, 추가적으로 조건 $\displaystyle g(\alpha_{2})>0$ 을 만족하는 $\displaystyle d$ 의 값을 찾아야 한다. $\displaystyle q=\alpha_{2}$ 라고 두면 $\displaystyle 4q^{2}-q-2=0$ 이 성립하고, 이를 이용하면, $\displaystyle \begin{aligned} g(\alpha_{2})=g(q) &=q^{4}-3q^{3}+4q+d \\ &=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d \end{aligned}$ 가 된다. $\displaystyle \frac{11}{2}<\sqrt{33}<6$ 이므로 $\displaystyle \frac{13}{16}<\alpha_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{8}<\frac{7}{8}$ 이다. 이를 이용하면, $\displaystyle g(q)=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d>\frac{165}{64}\times\frac{13}{16}-\frac{3}{32}+d=\frac{2049}{1024}+d$ 와 $\displaystyle g(q)=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d<\frac{165}{64}\times\frac{7}{8}-\frac{3}{32}+d=\frac{1107}{512}+d$ 이므로, $\displaystyle g(q)>0$ 을 만족하는 $\displaystyle d$ 의 값은 $\displaystyle d=-1,-2$ 이다.

(i)과 (ii)를 종합하면, 가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x^{4}-2x^{3}+x,\ x^{4}-3x^{3}+4x-1,\ x^{4}-3x^{3}+4x-2$ 이다.

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