수리형 1교시 3번

[문제 3-ⅰ]

(i) $\displaystyle c=-1$일 때, $\displaystyle f(0)=-1<0$이므로 $\displaystyle \alpha_{1}<-\frac{1}{2}<\alpha_{2}<0<\alpha_{3}$이 성립한다. 따라서, 실근 $\displaystyle \alpha_{2}$이 닫힌구간 $\displaystyle [-1,0]$에 포함되므로 $\displaystyle \alpha_{1}<-1$이다. 이 경우, $\displaystyle 0<f(-1)=-2$가 되어 모순이다.

(ii) $\displaystyle c=0$일 때, $\displaystyle f(x)=x(4x^{2}-3x-6)$이므로,$\displaystyle \alpha_{1}=\frac{3-\sqrt{105}}{8},\ \alpha_{2}=0,\ \alpha_{3}=\frac{3+\sqrt{105}}{8}$이고 $\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2}$가 닫힌구간 $\displaystyle [-1,0]$에 포함되어 모순이다.

(iii) $\displaystyle c=1,2,3,4$일 때, $\displaystyle f(0)=c>0$이고 $\displaystyle f(1)=c-5<0$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$은 $\displaystyle \alpha_{2}$만을 포함한다.

따라서, 가능한 함수 $\displaystyle f(x)$의 개수는 $\displaystyle 4$이다.

[문제 3-ⅱ]

(i) $\displaystyle a=-2$일 때, $\displaystyle c=1$이고$\displaystyle f(x)=4x^{3}-6x^{2}+1=(2x-1)(2x^{2}-2x-1)$이므로 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \alpha_{2}=\frac{1}{2}$, $\displaystyle \alpha_{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$을 얻게 된다. 이 경우, $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$이다.

(ii) $\displaystyle a=-3$일 때, $\displaystyle c=4$이고$\displaystyle f(x)=4x^{3}-9x^{2}+4=(x-2)(4x^{2}-x-2)$이므로 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{1-\sqrt{33}}{8}$, $\displaystyle \alpha_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{8}$, $\displaystyle \alpha_{3}=2$를 얻게 된다. 이 경우, $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|=2+\frac{\sqrt{33}}{4}$이다.

따라서, 가능한 $\displaystyle |\alpha_{1}|+|\alpha_{2}|+|\alpha_{3}|$의 값은 $\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{3}$, $\displaystyle 2+\frac{\sqrt{33}}{4}$이다.

[문제 3-ⅲ]

(ii) $\displaystyle f(x)=4x^{3}-9x^{2}+4$이라고 가정하면,$\displaystyle g(x)=x^{4}-3x^{3}+4x+d$이고 $\displaystyle d$는 정수이다. 문제의 조건으로부터 $\displaystyle g(\alpha_{1})<0$, $\displaystyle g(\alpha_{2})>0$이고, $\displaystyle g(\alpha_{3})=g(2)<0$을 만족해야 한다.$\displaystyle g(2)=d<0$으로부터 $\displaystyle d\le-1$이 성립한다. $\displaystyle g(0)=d\le-1$이므로, $\displaystyle g(x)=0$은 $\displaystyle \alpha_{1}$보다 작은 근을 하나 가진다. 따라서, 추가적으로 조건 $\displaystyle g(\alpha_{2})>0$을 만족하는 $\displaystyle d$의 값을 찾아야 한다. $\displaystyle q=\alpha_{2}$라고 두면 $\displaystyle 4q^{2}-q-2=0$이 성립하고, 이를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned} g(\alpha_{2})=g(q) &=q^{4}-3q^{3}+4q+d \\ &=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d \end{aligned}$가 된다. $\displaystyle \frac{11}{2}<\sqrt{33}<6$이므로 $\displaystyle \frac{13}{16}<\alpha_{2}=\frac{1+\sqrt{33}}{8}<\frac{7}{8}$이다. 이를 이용하면,$\displaystyle g(q)=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d>\frac{165}{64}\times\frac{13}{16}-\frac{3}{32}+d=\frac{2049}{1024}+d$와$\displaystyle g(q)=\frac{165}{64}q-\frac{3}{32}+d<\frac{165}{64}\times\frac{7}{8}-\frac{3}{32}+d=\frac{1107}{512}+d$이므로, $\displaystyle g(q)>0$을 만족하는 $\displaystyle d$의 값은 $\displaystyle d=-1,-2$이다.

(i)과 (ii)를 종합하면, 가능한 함수 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle x^{4}-2x^{3}+x,\ x^{4}-3x^{3}+4x-1,\ x^{4}-3x^{3}+4x-2$이다.