자연계열 I 1번

(a) $\displaystyle S_{1}=\frac{ab(a-b)}{2}=-\frac{a}{2}\left(b-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{3}}{8}$이므로 $\displaystyle S_{1}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{a^{3}}{8}$이다.

(b) $\displaystyle S_{3}=S_{1}+S_{2}$, $\displaystyle S_{1}\le\frac{a^{3}}{8}$, $\displaystyle S_{2}=\frac{a-a^{2}}{2}$이므로 $\displaystyle S_{3}\le\frac{a^{3}}{8}+\frac{a-a^{2}}{2}=\frac{a^{3}-4a^{2}+4a}{8}$이다.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-4x^{2}+4x}{8}$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{3x^{2}-8x+4}{8}=\frac{(3x-2)(x-2)}{8}$이다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (0) & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & (1) \\ \hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \frac{4}{27} & \searrow & \\ \hline \end{array}$

그러므로 열린구간 $\displaystyle (0,\,1)$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{4}{27}$이다. $\displaystyle S_{3}\le\frac{4}{27}$이고, $\displaystyle a=\frac{2}{3}$, $\displaystyle b=\frac{1}{3}$일 때 $\displaystyle S_{3}=\frac{4}{27}$이므로, $\displaystyle S_{3}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{4}{27}$이다.