자연계열 II 4번

(a) $\displaystyle t$가 방정식 $\displaystyle x^{3}-6x^{2}+a=0$의 근이므로 $\displaystyle t^{3}-6t^{2}+a=0$, $\displaystyle a=6t^{2}-t^{3}$이다. 따라서$\displaystyle x^{3}-6x^{2}+a=x^{3}-6x^{2}+6t^{2}-t^{3}=(x-t)\{x^{2}-(6-t)x+t^{2}-6t\}=0$이므로 나머지 두 근은 $\displaystyle \frac{6-t\pm\sqrt{(6-t)^{2}-4(t^{2}-6t)}}{2}=\frac{6-t\pm\sqrt{-3t^{2}+12t+36}}{2}$이다.

(b) $\displaystyle \mathrm{B}(x_{1},\,0)$, $\displaystyle \mathrm{C}(x_{2},\,0)$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=a$라 하자. $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$는 방정식 $\displaystyle -x^{3}+6x^{2}=a$의 해이다. 방정식 $\displaystyle -x^{3}+6x^{2}=a$의 $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$가 아닌 다른 해를 $\displaystyle t$라 하자. $\displaystyle -2<t<0$이고 (a)에 의해$\displaystyle x_{1}=\frac{6-t-\sqrt{-3t^{2}+12t+36}}{2},\qquad x_{2}=\frac{6-t+\sqrt{-3t^{2}+12t+36}}{2}$이므로 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle a(x_{2}-x_{1})=(-t^{3}+6t^{2})\sqrt{-3t^{2}+12t+36}$이다.

$\displaystyle f(x)=(-x^{3}+6x^{2})\sqrt{-3x^{2}+12x+36}$, $\displaystyle g(x)=\ln|f(x)|=2\ln|x|+\ln|x-6|+\frac{1}{2}\ln|3x^{2}-12x-36|$라 하자.$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x-6}+\frac{6x-12}{2(3x^{2}-12x-36)}=\frac{4(x^{2}-2x-6)}{x(x-6)(x+2)}$이고 방정식 $\displaystyle x^{2}-2x-6=0$의 근 중에서 $\displaystyle -2<x<0$인 것은 $\displaystyle x=1-\sqrt{7}$이다.$\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-2) & \cdots & 1-\sqrt{7} & \cdots & (0) \\ \hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{극대} & \searrow & \\ \hline \end{array}$

따라서 $\displaystyle t=1-\sqrt{7}$에서 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$는 최대 넓이를 갖고, 이때 변 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle -(1-\sqrt{7})^{3}+6(1-\sqrt{7})^{2}=26-2\sqrt{7}$이다.