자연계열 II 2번

함수 $\displaystyle y=\frac{1}{5}x-1$의 역함수는 $\displaystyle y=5x+5$이다. 그러므로 구하는 교점의 $\displaystyle y$좌표는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=5x+5$의 교점의 $\displaystyle x$좌표와 같다.

(i) $\displaystyle x\le-2$일 때$\displaystyle x^{3}-2x+11=5x+5$를 정리하면 $\displaystyle (x-1)(x-2)(x+3)=0$이다. 그러므로 $\displaystyle x\le-2$일 때의 근은 $\displaystyle -3$뿐이다.

(ii) $\displaystyle x>-2$일 때$\displaystyle \frac{5}{2}x-2\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)+11=5x+5$를 정리하면 $\displaystyle \frac{5}{2}x+2\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)-6=0$이다.$\displaystyle h(x)=\frac{5}{2}x+2\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)-6$이라 하자. $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{5}{2}-\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\ge\frac{5}{2}-\frac{2\pi}{3}=\frac{15-4\pi}{6}>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이다. 따라서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 근의 개수는 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$이다. $\displaystyle h(x)$는 연속함수이고, $\displaystyle h(3)=-\frac{1}{2}<0$이고 $\displaystyle h(4)=3>0$이므로, 사잇값 정리에 의해 주어진 방정식은 열린구간 $\displaystyle (3,\,4)$에서 오직 1개의 근을 갖는다.

(i), (ii)에 의해 $\displaystyle a$의 정수 부분은 $\displaystyle 0$이다.