자연계열 I 3번

$\displaystyle f(x)=3\sqrt{2}\sin^{3}x-\cos x$라 하자. $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x\le0$일 때, $\displaystyle \sin x\le0$, $\displaystyle \cos x\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)\le0$이다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 함수 $\displaystyle g(x)=3\sqrt{2}\sin^{3}x$는 증가함수이고, 함수 $\displaystyle h(x)=\cos x$는 감소함수이다. $\displaystyle f(x)=g(x)-h(x)$는 연속인 증가함수이고, $\displaystyle f(0)=-1<0$, $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\sqrt{2}>0$이므로 사잇값 정리에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 유일한 해를 갖는다. 이 해를 $\displaystyle a$라 하자. $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x\le a$이면 $\displaystyle f(x)\le0$이고 $\displaystyle a\le x\le\frac{\pi}{2}$이면 $\displaystyle f(x)\ge0$이다. 또한$\displaystyle 3\sqrt{2}\sin^{3}a=\cos a,\quad18\sin^{6}a=\cos^{2}a=1-\sin^{2}a,$$\displaystyle 18\sin^{6}a+\sin^{2}a-1=(3\sin^{2}a-1)(6\sin^{4}a+2\sin^{2}a+1)=0$이므로 $\displaystyle 3\sin^{2}a=1$, $\displaystyle \sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$이고 $\displaystyle \cos a=\sqrt{1-\sin^{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이다.

$\displaystyle \sin^{3}x=\sin^{2}x\sin x=(1-\cos^{2}x)\sin x=\sin x-\cos^{2}x\sin x$ 이므로$\displaystyle \int(3\sqrt{2}\sin^{3}x-\cos x)dx=\int3\sqrt{2}\sin xdx-\int3\sqrt{2}\cos^{2}x\sin xdx-\int\cos xdx=-3\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\cos^{3}x-\sin x+C$이다. $\displaystyle F(x)=\sqrt{2}\cos^{3}x-3\sqrt{2}\cos x-\sin x$라 하자. 이때 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$이고 $\displaystyle F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1$, $\displaystyle F\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$이며,$\displaystyle F(a)=\sqrt{2}\cos^{3}a-3\sqrt{2}\cos a-\sin a=\sqrt{2}\times\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}-3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{17\sqrt{3}}{9}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left|3\sqrt{2}\sin^{3}x-\cos x\right|dx &=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx \\ &=-F(a)+F\left(-\frac{\pi}{2}\right)+F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(a) \\ &=\frac{34\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$이다.