자연계열 II 1번

서울이가 산 김밥의 종류의 가짓수에 따라 1종류, 2종류, 3종류를 산 경우로 나누자.

(i) 서울이가 1종류의 김밥을 샀을 때, 김밥의 종류를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1}$이고, 선택한 1종류의 김밥에서 5줄을 사는 경우의 수는 $\displaystyle 1$이다. 시립이가 나머지 3종류의 김밥에서 5줄을 사는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{5}$이다. 이러한 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{1}\times1\times{}_{3}\mathrm{H}_{5}={}_{4}\mathrm{C}_{1}\times1\times{}_{7}\mathrm{C}_{5}=84$이다.

(ii) 서울이가 2종류의 김밥을 샀을 때, 김밥의 종류를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}$이고, 선택한 2종류의 김밥에서 5줄의 김밥을 사는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2}\mathrm{H}_{3}$이다. 시립이가 나머지 2종류의 김밥에서 5줄을 사는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{2}\mathrm{H}_{5}$이다. 이러한 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{H}_{3}\times{}_{2}\mathrm{H}_{5}={}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{6}\mathrm{C}_{5}=144$이다.

(iii) 서울이가 3종류의 김밥을 샀을 때, 김밥의 종류를 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3}$이고, 선택한 3종류의 김밥에서 5줄의 김밥을 사는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2}$이다. 시립이가 나머지 1종류의 김밥에서 5줄을 사는 경우의 수는 $\displaystyle 1$이다. 이러한 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{3}\mathrm{H}_{2}\times1={}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times1=24$이다.

(i), (ii), (iii)에서 모든 경우의 수는 $\displaystyle 84+144+24=252$이다.