자연계열 II 3번

조건 (1)에 의해서 자연수 $\displaystyle k$, $\displaystyle m$은 적당한 음이 아닌 두 정수 $\displaystyle s$, $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle k=2^{s}$, $\displaystyle m=2^{t}$이다. 조건 (1)로부터 $\displaystyle 2s=9n-3t$이므로, $\displaystyle 0\le s\le\frac{9n}{2}$이고$\displaystyle \frac{s}{3}$는 음이 아닌 정수이다. $\displaystyle \cdots\cdots$①조건 (2)에서 $\displaystyle m^{3}\le2^{9n}\le m^{6}$이고, 이 부등식에 $\displaystyle m^{3}=\frac{2^{9n}}{k^{2}}$와 $\displaystyle k=2^{s}$를 대입하여 정리하면$\displaystyle 0\le s\le\frac{9n}{4}\ \cdots\cdots$②이다. ①과 ②로부터 $\displaystyle a_{n}$은 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac{3n}{4}\right]$에 속하는 정수의 개수이다. 자연수 $\displaystyle q$에 대해서(i) $\displaystyle n=4q-3$일 때, $\displaystyle a_{n}=3q-2$,(ii) $\displaystyle n=4q-2$일 때, $\displaystyle a_{n}=3q-1$,(iii) $\displaystyle n=4q-1$일 때, $\displaystyle a_{n}=3q$,(iv) $\displaystyle n=4q$일 때, $\displaystyle a_{n}=3q+1$이다.

따라서 자연수 $\displaystyle N$에 대하여$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N}a_{n}=\sum_{q=1}^{N}(a_{4q-3}+a_{4q-2}+a_{4q-1}+a_{4q})=\sum_{q=1}^{N}(12q-2)=6N^{2}+4N$이다. $\displaystyle N=18$일 때 $\displaystyle \sum_{n=1}^{72}a_{n}=6\times18^{2}+4\times18=2016$이고, $\displaystyle \sum_{n=1}^{73}a_{n}=\sum_{n=1}^{72}a_{n}+a_{73}=2071$이므로 $\displaystyle p=72$이다.