자연계열 I 4번

$\displaystyle a_{n+1}-4=\frac{3}{4}(a_{n}-4)+\frac{2}{\sqrt{a_{n}}}-1$이다. 양수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle 1-\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}=\frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}=\frac{a-4}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}$이므로, $\displaystyle a>4$일 때$\displaystyle 0<1-\frac{2}{\sqrt{a}}<\frac{a-4}{8}$이다. 따라서 $\displaystyle a>4$일 때$\displaystyle (a-4)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{4}(a-4)-\frac{1}{8}(a-4)<\frac{3}{4}(a-4)-\left(1-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)<\frac{3}{4}(a-4)$이므로$\displaystyle 0<\frac{3}{4}(a-4)+\frac{2}{\sqrt{a}}-1<\frac{3}{4}(a-4)\ \cdots\cdots$①이다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}-4\le\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$이 성립함을 보이면 된다. 이를 수학적 귀납법을 이용해서 보이자.

$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle 0<5-4\le\left(\frac{3}{4}\right)^{0}=1$이므로 성립한다.$\displaystyle n=k$일 때, 성립한다고 가정하면$\displaystyle 0<a_{k}-4\le\left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}\ \cdots\cdots$②이므로 $\displaystyle a_{k}>4$이다.①, ②에 의해$\displaystyle 0<a_{k+1}-4=\frac{3}{4}(a_{k}-4)+\frac{2}{\sqrt{a_{k}}}-1<\frac{3}{4}(a_{k}-4)\le\left(\frac{3}{4}\right)^{k}$이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}-4\le\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$이 성립한다.