자연계열 I 2번

(a) 주사위를 한 번 던졌을 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이며, 주사위를 여러 번 던졌을 때, 매번 3의 배수의 눈이 나오는 사건은 서로 독립이다. 3의 배수가 연속해서 나오지 않는 확률은 다음과 같다.(i) 3의 배수가 한 번도 나오지 않을 확률은 $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{6}=\frac{64}{729}$이다.(ii) 3의 배수가 한 번 나올 확률은 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{1}\times\frac{1}{3}\times\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{192}{729}$이다.(iii) 3의 배수가 두 번 나오고, 3의 배수가 연속해서 나오지 않을 확률은 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{160}{729}$이다.(iv) 3의 배수가 세 번 나오고, 3의 배수가 연속해서 나오지 않을 확률은 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{32}{729}$이다.

(i)~(iv)에 의해서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{64+192+160+32}{729}=\frac{448}{729}$이다.

(b) 주사위를 6번 던졌을 때, 3의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않는 사건을 $\displaystyle A$, 적어도 한 번은 2 이하의 눈이 나오는 사건을 $\displaystyle B$라고 하자. $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A\cap B^{C})$이므로,$\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\frac{\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(A\cap B^{C})}{\mathrm{P}(B)}=\frac{\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(B^{C})\mathrm{P}(A|B^{C})}{\mathrm{P}(B)}$이다. 또한,$\displaystyle \mathrm{P}(B^{C})=\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=\frac{64}{729},\qquad\mathrm{P}(B)=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=\frac{665}{729}$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A|B^{C})$는 나온 눈의 개수가 모두 3 이상일 때, 3의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않을 확률과 같다. 나온 눈의 개수가 모두 3 이상일 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로, (a)와 같은 방법으로$\displaystyle \mathrm{P}(A|B^{C})=\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+{}_{6}\mathrm{C}_{1}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{21}{64}$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\dfrac{\dfrac{448}{729}-\dfrac{64}{729}\times\dfrac{21}{64}}{\dfrac{665}{729}}=\frac{427}{665}=\frac{61}{95}$이다.