자연계열 I 1번

(a) $\displaystyle 1\le k\le6$에 대하여 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle 6$이 되는 경우의 수는 방정식 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}=6$에서 $\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$가 모두 $\displaystyle 6$ 이하의 자연수인 해의 개수와 같다. 이는 방정식 $\displaystyle z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{k}=6-k$에서 $\displaystyle z_{1},z_{2},\cdots,z_{k}$가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수와 같으므로 $\displaystyle {}_{k}\mathrm{H}_{6-k}$이다. 따라서 주사위를 $\displaystyle k$번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle 6$일 확률은$\displaystyle \frac{{}_{k}\mathrm{H}_{6-k}}{6^{k}}=\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{6-k}}{6^{k}}=\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{k-1}}{6^{k}}$이다. 그러므로 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle 6$일 확률은$\displaystyle \sum_{k=1}^{6}\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{k-1}}{6^{k}}=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{5}\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{k}}{6^{k}}=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{6}\right)^{5}=\frac{7^{5}}{6^{6}}$이다.

(b) 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle 6$인 사건을 $\displaystyle A$라 하고 주사위를 4번 던져서 게임이 끝나는 사건을 $\displaystyle B$라 하자. (a)와 마찬가지로 $\displaystyle 3\le n\le5$에 대하여 주사위를 3번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle n$이 되는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{n-3}$이다. 따라서 주사위를 3번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle n$이 될 확률은$\displaystyle \frac{{}_{3}\mathrm{H}_{n-3}}{6^{3}}=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{n-3}}{6^{3}}=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{2}}{6^{3}}$이다. 주사위를 3번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle n$ $\displaystyle (3\le n\le5)$일 때, 다음 주사위를 던져 나오는 눈의 수가 $\displaystyle 6-n$ 이상이면 게임이 끝나고 주사위를 던진 횟수가 4가 된다. 따라서 사건 $\displaystyle B$가 일어날 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(B)=\frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{6^{3}}\times\frac{4}{6}+\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{6^{3}}\times\frac{5}{6}+\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{6^{3}}\times\frac{6}{6}=\frac{55}{6^{4}}$이다. $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)$는 주사위를 4번 던져서 주머니에 있는 공의 개수가 $\displaystyle 6$일 확률이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\frac{{}_{4}\mathrm{H}_{2}}{6^{4}}=\frac{10}{6^{4}}$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\frac{2}{11}$이다.