자연계열 II 3번

어느 가로줄과 세로줄도 같은 색으로 채워지지 않는 경우를 전체에서 빼자.각 가로줄에는 흰 구슬이 $\displaystyle 1$개 또는 $\displaystyle 2$개 있어야 하므로,흰 구슬 $\displaystyle 5$개는 네 가로줄에 $\displaystyle 2,1,1,1$개씩 들어가야 한다.

흰 구슬이 $\displaystyle 2$개인 가로줄과 그 두 칸을 고르는 방법은 $\displaystyle 4\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{2}$가지이다.나머지 세 가로줄에서 흰 구슬의 위치를 고르는 방법은 $\displaystyle 3^{3}$가지이고,앞에서 흰 구슬을 놓지 않은 세로줄에 끝까지 흰 구슬을 놓지 않는 경우는 $\displaystyle 2^{3}$가지이다.이 경우를 제외하면 모든 세로줄에 흰 구슬이 하나 이상 있게 된다.또한 한 세로줄이 흰 구슬 $\displaystyle 4$개로 채워지면 남은 흰 구슬은 $\displaystyle 1$개뿐이므로,다른 세로줄 하나는 검은 구슬로 채워진다. 이 경우도 이미 제외된다.따라서 어느 줄도 같은 색으로 채워지지 않는 경우의 수는$\displaystyle 4\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{2}(3^{3}-2^{3})=228$이다.

따라서 구하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{12}\mathrm{C}_{5}-4\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{2}(3^{3}-2^{3})=792-228=564$이다.