자연계열 I 2번

주어진 정적분을 조건 (2)를 이용해서 정리하면$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{6}xh(x)dx &=\int_{0}^{3}xh(x)dx+\int_{3}^{6}xh(x)dx=\int_{0}^{3}xh(x)dx+\int_{0}^{3}(x+3)h(x)dx \\ &=2\int_{0}^{3}xh(x)dx+3\int_{0}^{3}h(x)dx \end{aligned}$이다.

$\displaystyle f(1)=1$이므로 $\displaystyle g(1)=1$이고 $\displaystyle f(0)=3$이므로 $\displaystyle g(3)=0$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$와 함수 $\displaystyle g(x)$가 서로 역함수 관계이므로$\displaystyle \int_{1}^{3}g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx-1=\frac{5}{4}$이고$\displaystyle \int_{1}^{3}xg^{\prime}(x)dx=\Biggl[xg(x)\Biggr]_{1}^{3}-\int_{1}^{3}g(x)dx=-\frac{9}{4}$이다. 따라서$\displaystyle \int_{0}^{3}xh(x)dx=\int_{0}^{1}3x^{2}dx+\int_{1}^{3}x\{4g^{\prime}(x)+4\}dx=8$이고$\displaystyle \int_{0}^{3}h(x)dx=\int_{0}^{1}3xdx+\int_{1}^{3}\{4g^{\prime}(x)+4\}dx=\frac{3}{2}+4\{g(3)-g(1)\}+8=\frac{11}{2}$이다. 구하는 정적분의 값은$\displaystyle \int_{0}^{6}xh(x)dx=2\cdot8+3\cdot\frac{11}{2}=\frac{65}{2}$이다.