자연계열 II 2번

$\displaystyle \sqrt{2}\le t\le2$에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라 하자. $\displaystyle t=\frac{3}{2}$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이 삼각형의 한 꼭짓점에 있으므로 $\displaystyle \sqrt{2}\le t\le\frac{3}{2}$와 $\displaystyle \frac{3}{2}\le t\le2$로 나누어 $\displaystyle S(t)$를 구한다.

(i) $\displaystyle \sqrt{2}\le t\le\frac{3}{2}$인 경우$\displaystyle \sqrt{2}\le t\le\frac{3}{2}$인 경우 세 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$은 아래의 그림처럼 위치하게 된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이는$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}(2t-\sqrt{2}t)(2-t)\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{4}(-t^{2}+2t)$이다. 따라서 주어진 구간에서 $\displaystyle S(t)$는 감소한다.

(ii) $\displaystyle \frac{3}{2}\le t\le2$인 경우$\displaystyle \frac{3}{2}\le t\le2$인 경우 세 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$이 아래의 그림처럼 위치하고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned} S(t) &=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}(2t-3)(3-\sqrt{2}t)\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}(4-2t)(t-1)\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}(\sqrt{2}t-2)(2-t)\sin\frac{\pi}{3} \\ &=\frac{\sqrt{3}}{4}\{(2+3\sqrt{2})t^{2}-(14+5\sqrt{2})t+18\} \end{aligned}$이다.

이차함수 $\displaystyle f(t)=\frac{\sqrt{3}}{4}\{(2+3\sqrt{2})t^{2}-(14+5\sqrt{2})t+18\}$는 $\displaystyle t=t_{0}=\frac{14+5\sqrt{2}}{2(2+3\sqrt{2})}=\frac{1+16\sqrt{2}}{14}$일 때 최솟값을 가진다. $\displaystyle \frac{3}{2}<t_{0}<2$이므로 $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle \frac{3}{2}\le t\le t_{0}$에서 감소하고 $\displaystyle t_{0}\le t\le2$에서 증가한다.

(i)과 (ii)에 의하여 $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle \sqrt{2}\le t\le2$에서 $\displaystyle t=t_{0}$일 때 최솟값을 갖고 $\displaystyle t=\sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle 2$일 때 최댓값을 갖는다.$\displaystyle S(2)-S(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2}-1)-\frac{\sqrt{3}}{2}(3\sqrt{2}-4)=\frac{\sqrt{3}}{2}(3-2\sqrt{2})>0$이므로 $\displaystyle S(t)$가 최대가 되는 시각은 $\displaystyle 2$이고 최소가 되는 시각은 $\displaystyle \frac{1+16\sqrt{2}}{14}$이다.