자연계열 I 3번

조건에서 주어진 식을 정리하면$\displaystyle (a+4b)c^{2}=3\cdot2^{100}\qquad\cdots\cdots$①이다.

따라서 $\displaystyle c=2^{r}(r=0,1,\cdots,49)$이다. $\displaystyle r=0,1,\cdots,49$에 대해$\displaystyle a=4\cdot(3\cdot2^{98-2r}-b)$이므로 ①을 만족시키는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 3\cdot2^{98-2r}-1$이다. 따라서 ①을 만족시키는 자연수의 모든 순서쌍의 개수는$\displaystyle \sum_{r=0}^{49}(3\cdot2^{98-2r}-1)=2^{100}-51$이다.

$\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$는 서로 다른 세 자연수이므로 아래 (i), (ii), (iii), (iv)를 생각해야 한다.

(i) $\displaystyle a=b$인 경우$\displaystyle a+4b=5a$이므로 ①의 좌변은 5의 배수이지만 우변은 5의 배수가 아니다. 따라서 ①을 만족시키는 자연수의 순서쌍은 없다.(ii) $\displaystyle a=c$인 경우$\displaystyle (a+4b)a^{2}=3\cdot2^{100}$이므로 $\displaystyle a^{3}<3\cdot2^{100}$이고 $\displaystyle a=2^{r}(r=0,1,\cdots,33)$이다. 이때 $\displaystyle b=3\cdot2^{98-2r}-2^{r-2}$이고 $\displaystyle b$는 자연수이므로 $\displaystyle r=2,3,\cdots,33$이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 32$이다.(iii) $\displaystyle b=c$인 경우$\displaystyle (a+4b)b^{2}=3\cdot2^{100}$이므로 $\displaystyle 4b^{3}<3\cdot2^{100}$이고 $\displaystyle b=2^{r}(r=0,1,\cdots,33)$이다. 이때 $\displaystyle a=3\cdot2^{100-2r}-2^{r+2}$이고 $\displaystyle a$는 자연수이므로 $\displaystyle r=0,1,2,\cdots,33$이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 34$이다.(iv) $\displaystyle a=b=c$인 경우(i)에 의해서 ①을 만족시키는 자연수의 순서쌍은 없다.

따라서 구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$의 개수는$\displaystyle 2^{100}-51-32-34=2^{100}-117$이다.