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자연계열 I 4번

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서울시립대 2023학년도 수시 자연계열 I 4번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/uos/2023su/jayeon1_4

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문제

[문제 4] (총 115점)

좌표평면 위의 두 점 F(5, 0)\displaystyle \mathrm{F}(5,\,0), F′(−5, 0)\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(-5,\,0)을 초점으로 하는 타원 C1\displaystyle C_{1}과 두 점 F\displaystyle \mathrm{F}, F′\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}을 초점으로 하는 쌍곡선 C2\displaystyle C_{2}가 있다. 두 곡선 C1\displaystyle C_{1}, C2\displaystyle C_{2}의 제1사분면 위의 교점 P\displaystyle \mathrm{P}에 대하여 PF‾×PF′‾=20\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}\times\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}=20일 때, 다음에 답하여라.

(a) PF‾PF′‾\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}}의 값의 범위를 구하여라. (75점)

(b) ∠FPF′=π3\displaystyle \angle\mathrm{FPF}^{\prime}=\frac{\pi}{3}일 때, PF‾PF′‾\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}}의 값을 구하여라. (40점)

서울시립대 2023학년도 수시 자연계열 I 4번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/uos/2023su/jayeon1_4

Advice. 앞뒤 문제를 활용하라: (b)에서 두 초점이 이루는 각을 주었다는 점을 (a)의 풀이 힌트로 활용할 수 있다.먼저 그 각을 일반적인 각 θ\displaystyle \theta로 두고 코사인법칙을 적용하면, (a)의 거리의 비의 범위와 (b)의 특정 각에서의 값을 같은 식으로 구할 수 있다.

두 초점 F′(-5,0), F(5,0)과 제1사분면의 P가 만드는 삼각형. PF=u, PF′=v, 각 FPF′=θ, FF′=10이며 uv=20이다.
+75점 · 타원 위의 점과 초점 사이의 거리, 쌍곡선 위의 점과 초점 사이의 거리 관계를 이용하여 거리의 비의 범위를 구한다.

(a) u=PF‾\displaystyle u=\overline{\mathrm{PF}}, v=PF′‾\displaystyle v=\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}, r=uv\displaystyle r=\frac{u}{v}, θ=∠FPF′\displaystyle \theta=\angle\mathrm{FPF}^{\prime}라 하자.점 P\displaystyle \mathrm{P}가 제1사분면에 있으므로 0<u<v\displaystyle 0<u<v, 즉 0<r<1\displaystyle 0<r<1이다.uv=20\displaystyle uv=20, FF′‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=10이므로 코사인법칙에 의하여100=u2+v2−40cos⁡θ\displaystyle 100=u^{2}+v^{2}-40\cos\theta이다. 양변을 20=uv\displaystyle 20=uv로 나누면r+1r=5+2cos⁡θ\displaystyle r+\frac{1}{r}=5+2\cos\theta를 얻는다.

0<θ<π\displaystyle 0<\theta<\pi이므로 −1<cos⁡θ<1\displaystyle -1<\cos\theta<1이다. 따라서3<r+1r<7\displaystyle 3<r+\frac{1}{r}<7이고, r>0\displaystyle r>0을 곱하여 정리하면r2−3r+1>0,r2−7r+1<0\displaystyle r^{2}-3r+1>0,\qquad r^{2}-7r+1<0이다. 두 이차부등식의 해와 0<r<1\displaystyle 0<r<1을 함께 고려하면7−352<r<3−52\displaystyle \frac{7-3\sqrt{5}}{2}<r<\frac{3-\sqrt{5}}{2}이다.

역으로 이 범위의 r\displaystyle r에 대해 u=20r\displaystyle u=\sqrt{20r}, v=20r\displaystyle v=\sqrt{\frac{20}{r}}라 두면u+v>10,0<v−u<10\displaystyle u+v>10,\qquad 0<v-u<10이므로 세 변의 길이가 u\displaystyle u, v\displaystyle v, 10\displaystyle 10인 삼각형이 존재한다.u<v\displaystyle u<v이므로 두 초점을 고정했을 때 위쪽 꼭짓점 P\displaystyle \mathrm{P}는 제1사분면에 있다. 이 점을 지나는 타원과 쌍곡선은 각각 두 초점까지의 거리의 합 u+v\displaystyle u+v와 차 v−u\displaystyle v-u로 정해진다.따라서 위의 열린 구간 전체가 구하는 범위이다.

+40점 · 코사인법칙을 활용하여 방정식을 만들어 해를 구한다.

(b) (a)에서 얻은 식에 θ=π3\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}을 대입하면r+1r=5+2cos⁡π3=6\displaystyle r+\frac{1}{r}=5+2\cos\frac{\pi}{3}=6이다. 따라서r2−6r+1=0⟹r=3±22\displaystyle r^{2}-6r+1=0\quad\Longrightarrow\quad r=3\pm2\sqrt{2}이고, 0<r<1\displaystyle 0<r<1이므로PF‾PF′‾=3−22\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}}=3-2\sqrt{2}이다.

연결 예제2009학년도 사관학교 1차 선발시험 이과 17번 · 4점
문제

그림과 같이 장축의 길이가 4, 단축의 길이가 2인 타원이 있다. 이 타원의 두 초점 F\displaystyle \mathrm{F}, F′\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}에 대하여 삼각형 AF′F\displaystyle \mathrm{AF}^{\prime}\mathrm{F}의 넓이가 2\displaystyle \sqrt{2}가 되도록 타원 위의 점 A\displaystyle \mathrm{A}를 정할 때, ∠F′AF=θ\displaystyle \angle\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{AF}=\theta라 하면 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta의 값은? [4점]

장축 4, 단축 2인 타원 위의 점 A와 두 초점 F′, F가 이루는 삼각형. 점 A에서 두 초점을 향하는 선분 사이의 각이 θ로 표시되어 있다.
  • ① −12\displaystyle -\frac12
  • ② −13\displaystyle -\frac13
  • ③ −14\displaystyle -\frac14
  • ④ −15\displaystyle -\frac15
  • ⑤ −16\displaystyle -\frac16
해설

u=AF‾\displaystyle u=\overline{\mathrm{AF}}, v=AF′‾\displaystyle v=\overline{\mathrm{AF}^{\prime}}라 하자.타원의 정의와 두 초점 사이의 거리로부터u+v=4,FF′‾=222−12=23\displaystyle u+v=4,\qquad \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=2\sqrt{2^{2}-1^{2}}=2\sqrt{3}이다.

삼각형의 넓이 조건을 이용하면12uvsin⁡θ=2⟹uvsin⁡θ=22\displaystyle \frac12uv\sin\theta=\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad uv\sin\theta=2\sqrt2이다. 한편 코사인법칙에 의하여12=u2+v2−2uvcos⁡θ=16−2uv(1+cos⁡θ)\displaystyle 12=u^{2}+v^{2}-2uv\cos\theta=16-2uv(1+\cos\theta)이므로uv(1+cos⁡θ)=2\displaystyle uv(1+\cos\theta)=2이다.

두 식을 나누면sin⁡θ1+cos⁡θ=2\displaystyle \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\sqrt2이다. 0<θ<π\displaystyle 0<\theta<\pi이므로 1+cos⁡θ>0\displaystyle 1+\cos\theta>0이고,양변을 제곱한 뒤 sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\displaystyle \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta를 이용하면1−cos⁡θ1+cos⁡θ=2\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=2이다. 따라서1−cos⁡θ=2+2cos⁡θ⟹cos⁡θ=−13\displaystyle 1-\cos\theta=2+2\cos\theta\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=-\frac13이므로 정답은 ②이다.

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