자연계열 I 4번

서울시립대 2023학년도 수시 자연계열 I 4번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/uos/2023su/jayeon1_4

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서울시립대 2023학년도 수시 자연계열 I 4번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/uos/2023su/jayeon1_4

Advice. (b)에서 두 초점이 이루는 각을 주었다는 점을 (a)의 풀이 힌트로 활용할 수 있다.먼저 그 각을 일반적인 각 $\displaystyle \theta$ 로 두고 코사인법칙을 적용하면, (a)의 거리의 비의 범위와 (b)의 특정 각에서의 값을 같은 식으로 구할 수 있다.

두 초점 F′(-5,0), F(5,0)과 제1사분면의 P가 만드는 삼각형. PF=u, PF′=v, 각 FPF′=θ, FF′=10이며 uv=20이다.

+75점 · 타원 위의 점과 초점 사이의 거리, 쌍곡선 위의 점과 초점 사이의 거리 관계를 이용하여 거리의 비의 범위를 구한다.

(a) $\displaystyle u=\overline{\mathrm{PF}}$ , $\displaystyle v=\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}$ , $\displaystyle r=\frac{u}{v}$ , $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{FPF}^{\prime}$ 라 하자.점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 제1사분면에 있으므로 $\displaystyle 0<u<v$ , 즉 $\displaystyle 0<r<1$ 이다. $\displaystyle uv=20$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=10$ 이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 100=u^{2}+v^{2}-40\cos\theta$ 이다. 양변을 $\displaystyle 20=uv$ 로 나누면 $\displaystyle r+\frac{1}{r}=5+2\cos\theta$ 를 얻는다.

$\displaystyle 0<\theta<\pi$ 이므로 $\displaystyle -1<\cos\theta<1$ 이다. 따라서 $\displaystyle 3<r+\frac{1}{r}<7$ 이고, $\displaystyle r>0$ 을 곱하여 정리하면 $\displaystyle r^{2}-3r+1>0,\qquad r^{2}-7r+1<0$ 이다. 두 이차부등식의 해와 $\displaystyle 0<r<1$ 을 함께 고려하면 $\displaystyle \frac{7-3\sqrt{5}}{2}<r<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ 이다.

역으로 이 범위의 $\displaystyle r$ 에 대해 $\displaystyle u=\sqrt{20r}$ , $\displaystyle v=\sqrt{\frac{20}{r}}$ 라 두면 $\displaystyle u+v>10,\qquad 0<v-u<10$ 이므로 세 변의 길이가 $\displaystyle u$ , $\displaystyle v$ , $\displaystyle 10$ 인 삼각형이 존재한다. $\displaystyle u<v$ 이므로 두 초점을 고정했을 때 위쪽 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 제1사분면에 있다. 이 점을 지나는 타원과 쌍곡선은 각각 두 초점까지의 거리의 합 $\displaystyle u+v$ 와 차 $\displaystyle v-u$ 로 정해진다.따라서 위의 열린 구간 전체가 구하는 범위이다.

+40점 · 코사인법칙을 활용하여 방정식을 만들어 해를 구한다.

(b) (a)에서 얻은 식에 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 을 대입하면 $\displaystyle r+\frac{1}{r}=5+2\cos\frac{\pi}{3}=6$ 이다. 따라서 $\displaystyle r^{2}-6r+1=0\quad\Longrightarrow\quad r=3\pm2\sqrt{2}$ 이고, $\displaystyle 0<r<1$ 이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{PF}^{\prime}}}=3-2\sqrt{2}$ 이다.

연결 예제2009학년도 사관학교 1차 선발시험 이과 17번 · 4점

문제

그림과 같이 장축의 길이가 4, 단축의 길이가 2인 타원이 있다. 이 타원의 두 초점 $\displaystyle \mathrm{F}$ , $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AF}^{\prime}\mathrm{F}$ 의 넓이가 $\displaystyle \sqrt{2}$ 가 되도록 타원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 정할 때, $\displaystyle \angle\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{AF}=\theta$ 라 하면 $\displaystyle \cos\theta$ 의 값은? [4점]

장축 4, 단축 2인 타원 위의 점 A와 두 초점 F′, F가 이루는 삼각형. 점 A에서 두 초점을 향하는 선분 사이의 각이 θ로 표시되어 있다.

① $\displaystyle -\frac12$
② $\displaystyle -\frac13$
③ $\displaystyle -\frac14$
④ $\displaystyle -\frac15$
⑤ $\displaystyle -\frac16$

해설

$\displaystyle u=\overline{\mathrm{AF}}$ , $\displaystyle v=\overline{\mathrm{AF}^{\prime}}$ 라 하자.타원의 정의와 두 초점 사이의 거리로부터 $\displaystyle u+v=4,\qquad \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}=2\sqrt{2^{2}-1^{2}}=2\sqrt{3}$ 이다.

삼각형의 넓이 조건을 이용하면 $\displaystyle \frac12uv\sin\theta=\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad uv\sin\theta=2\sqrt2$ 이다. 한편 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 12=u^{2}+v^{2}-2uv\cos\theta=16-2uv(1+\cos\theta)$ 이므로 $\displaystyle uv(1+\cos\theta)=2$ 이다.

두 식을 나누면 $\displaystyle \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\sqrt2$ 이다. $\displaystyle 0<\theta<\pi$ 이므로 $\displaystyle 1+\cos\theta>0$ 이고,양변을 제곱한 뒤 $\displaystyle \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ 를 이용하면 $\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=2$ 이다. 따라서 $\displaystyle 1-\cos\theta=2+2\cos\theta\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=-\frac13$ 이므로 정답은 ②이다.

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