자연계열 II 4번

자연수 $\displaystyle k$에 대해 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$을 생각하자. $\displaystyle y=f(x)$를 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 위의 점 $\displaystyle \left(k+1,\frac{1}{k+1}\right)$에서의 접선이라 하고, $\displaystyle y=g(x)$를 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 위의 두 점 $\displaystyle \left(k,\frac{1}{k}\right)$와 $\displaystyle \left(k+1,\frac{1}{k+1}\right)$을 지나는 직선이라 하자. 그러면$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{(k+1)^{2}}\{x-(k+1)\}+\frac{1}{k+1}\ ,\quad g(x)=-\frac{1}{k(k+1)}(x-k)+\frac{1}{k}$이다.

이때 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$에서 $\displaystyle \frac{1}{x}-f(x)=\frac{(x-k-1)^{2}}{x(k+1)^{2}}\ge0$이고 $\displaystyle g(x)-\frac{1}{x}=-\frac{(x-k)(x-k-1)}{xk(k+1)}\ge0$이다.

즉, 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$에서 $\displaystyle f(x)\le\frac{1}{x}\le g(x)$이므로$\displaystyle \int_{k}^{k+1}f(x)dx\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}dx\le\int_{k}^{k+1}g(x)dx$이다. 이때$\displaystyle \begin{aligned} \int_{k}^{k+1}f(x)dx &=\int_{k}^{k+1}\left[-\frac{1}{(k+1)^{2}}\{x-(k+1)\}+\frac{1}{k+1}\right]dx=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+1)^{2}} \\ \int_{k}^{k+1}g(x)dx &=\int_{k}^{k+1}\left\{-\frac{1}{k(k+1)}(x-k)+\frac{1}{k}\right\}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right) \\ \int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}dx &=\ln(k+1)-\ln k \end{aligned}$이므로$\displaystyle \frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+1)^{2}}\le\ln(k+1)-\ln k\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$이다.

위의 부등식에 의하여$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+1)^{2}}\right\}\le\ln(n+1)\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$이 성립한다.