자연계열 II 1번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax+b$가 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle 0$이 아니므로, 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 따라서, $\displaystyle a^{2}-3b<0$이다.

또한, 직선 $\displaystyle l_{2}$는 $\displaystyle y=-\frac{1}{3p^{2}+2ap+b}(x-p)+q$이며, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \left(0,\frac{p}{3p^{2}+2ap+b}+q\right)$이다. 문제의 조건에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2|p|$를 만족시켜야 하므로$\displaystyle \sqrt{p^{2}+\frac{p^{2}}{(3p^{2}+2ap+b)^{2}}}=2|p|$가 성립한다. 조건에서 $\displaystyle p\ne0$이므로 위 식을 정리하면 $\displaystyle 3p^{2}+2ap+b=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$이다. 또한 $\displaystyle f^{\prime}(p)=3p^{2}+2ap+b>0$이므로 $\displaystyle 3p^{2}+2ap+b=\frac{1}{\sqrt{3}}$이다. 이 이차방정식의 해가 서로 다른 두 실근일 조건은 $\displaystyle a^{2}-3b>-\sqrt{3}$이다.

한편, $\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$이면 이차방정식 $\displaystyle 3p^{2}+2ap+b=\frac{1}{\sqrt{3}}$의 한 근이 $\displaystyle p=0$이므로 주어진 조건을 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 하나만 존재한다. 따라서 구하는 조건은$\displaystyle -\sqrt{3}<a^{2}-3b<0,\ b\ne\frac{1}{\sqrt{3}}$이다.