자연계열 I (오전) 1번

삼각형 $\displaystyle \mathrm P_k\mathrm{BC}$의 넓이를 두 가지 방법으로 계산하면, $\displaystyle h_k\times\sqrt{a^2+\left(\frac kn\right)^2}=a\times\frac kn$이므로 $\displaystyle h_k=\frac{ak}n\times\frac1{\sqrt{a^2+\left(\frac kn\right)^2}}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle H_n=\frac1n\sum_{k=1}^n h_k=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\frac{ak}n}{\sqrt{a^2+\left(\frac kn\right)^2}}$이고,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}H_n=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\frac{ak}n}{\sqrt{a^2+\left(\frac kn\right)^2}}=\int_0^1\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}\,dx=a(\sqrt{a^2+1}-a)$이다.또는 $\displaystyle a\sqrt{a^2+1}-a^2$.