자연계열 I (오전) 1번

[문제 1]

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\ (a>0)$이고 $\displaystyle \angle\mathrm{BCA}=\frac\pi2$인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 있다. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}$를 $\displaystyle n$등분한 각 분점을 점 $\displaystyle \mathrm C$에서 가까운 것부터 차례로 $\displaystyle \mathrm P_0(=\mathrm C)$, $\displaystyle \mathrm P_1$, $\displaystyle \mathrm P_2$, $\displaystyle \mathrm P_3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \mathrm P_{n-1}$, $\displaystyle \mathrm P_n(=\mathrm A)$이라 하자. $\displaystyle 1\leq k\leq n$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{BP}_k$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm Q_k$라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}_k$의 길이를 $\displaystyle h_k$라 하자. $\displaystyle h_k$의 평균을 $\displaystyle H_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}H_n$을 구하시오. [10점]