자연계열 II (오후) 1번

합성함수 미분법에 의하여,$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dx}f^{<n-1>}&=\frac d{dx}\ln(\ln\cdots(\ln(\ln x))\cdots)=\frac1{\ln(\ln\cdots(\ln(\ln x))\cdots)}\times\cdots\times\frac1{\ln x}\times\frac1x\\&=\frac1{f^{<n-2>}\cdots f^{<1>}f^{<0>}}\end{aligned}$이를 이용하여 직접 치환 적분을 할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\int f(f^{<n-1>})\frac d{dx}(f^{<n-1>})\,dx&=\int f(y)\,dy=y(\ln y-1)+C=f^{<n-1>}(\ln(f^{<n-1>})-1)+C\\&=f^{<n-1>}(f^{<n>}-1)+C\end{aligned}$정답 : $\displaystyle f^{<n-1>}[f^{<n>}-1]+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수) 또는 $\displaystyle e^{f^{<n>}}(f^{<n>}-1)+C$ ($\displaystyle e^{\ln x}=x$이므로)