자연계열 II (오후) 3번

치환하여 다음과 같이 정리한다.$\displaystyle I=\int_{-1}^{-b}\frac{f(a+x)}x\,dx+\int_b^1\frac{f(a+x)}x\,dx=\int_b^1\frac{f(a+x)-f(a-x)}x\,dx.$평균값의 정리에 의해함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [a-x,a+x]$에서 연속이고 구간 $\displaystyle (a-x,a+x)$에서 미분가능하므로$\displaystyle \frac{f(a+x)-f(a-x)}{2x}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 구간 $\displaystyle (a-x,a+x)$에 존재한다.$\displaystyle \frac{f(a+x)-f(a-x)}x=2f^{\prime}(c)$이므로 $\displaystyle -2\leq\frac{f(a+x)-f(a-x)}x\leq2$이다.따라서 $\displaystyle -2\leq\int_b^1\frac{f(a+x)-f(a-x)}x\,dx\leq2$이다.