자연계열 I (오전) 4번

[문제 4-1]먼저 삼각기둥 $\displaystyle \mathrm{ABC-DEF}$를 이루는 면들에 대해 법선벡터와 넓이를 구하여 보자.

(i) 앞면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 세 변의 길이가 각각 $\displaystyle 2$, $\displaystyle \sqrt6$, $\displaystyle \sqrt6$인 이등변 삼각형이므로 피타고라스의 정리를 이용하여 높이가 $\displaystyle \sqrt5$임을 알 수 있고, 따라서 그 넓이는 $\displaystyle \sqrt5$이다. 세 점 $\displaystyle (1,0,0)$, $\displaystyle (1,2,0)$, $\displaystyle (0,1,-2)$가 이루는 평면의 방정식을 생각하면 이에 수직인 벡터는 $\displaystyle (-2,0,1)$이다.(ii) 마찬가지로, 사각형 $\displaystyle \mathrm{ACFD}$의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt5$이고, 세 꼭짓점들을 골라 평면의 방정식을 생각하면, 이는 벡터 $\displaystyle (1,0,2)$와 수직임을 알 수 있다.

잘린 면의 모양은 오각형이며, 그 넓이는 (i), (ii)에서 구한 두 다각형을 평면 $\displaystyle z=3$에 정사영하여 얻을 수 있다. 먼저 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 $\displaystyle z=3$가 이루는 이면각을 $\displaystyle \theta_1$이라 두면, $\displaystyle \cos(\theta_1)=\frac{(0,0,1)\cdot(-2,0,1)}{|(0,0,1)|\,|(-2,0,1)|}=\frac2{\sqrt5}$. 마찬가지로 사각형 $\displaystyle \mathrm{ACFD}$와 $\displaystyle z=3$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta_2$라 두면, $\displaystyle \cos(\theta_2)=\frac1{\sqrt5}\ \left(\because\theta_1+\theta_2=\frac\pi2\right)$. 따라서 구하려는 잘린 면의 넓이는 $\displaystyle \sqrt5\times\frac1{\sqrt5}+2\sqrt5\times\frac2{\sqrt5}=5$가 된다.Correction. $\displaystyle \cos\theta_1=\frac1{\sqrt5}$, $\displaystyle \cos\theta_2=\frac2{\sqrt5}$이다. 두 값이 서로 바뀌어 있으나, 마지막 넓이 계산에는 올바른 값이 쓰였다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 4-2]그림에 있는 다면체 $\displaystyle V$ 내부에서 위쪽에 보이는 삼각기둥 모양을 제외한 것을 $\displaystyle V^{\prime}$이라 하자. 평면 $\displaystyle z=1$로 자른 아래 부분을 입체도형의 위쪽으로 끼워넣는다고 생각하면 $\displaystyle V^{\prime}$은 [문제 4-1]의 오각형을 단면으로 하고 높이가 $\displaystyle 6$인 오각기둥과 같은 부피를 갖는다.따라서 $\displaystyle V$의 부피는 (오각기둥의 부피)$\displaystyle +$(삼각기둥의 부피)$\displaystyle =5\times6+\frac12\times2\sqrt5\times\sqrt5=35$이다.