자연계열 I (오전) 2번

$\displaystyle \begin{aligned}S_{2n-1}&=1^2+m\times2^2+3^2+m\times4^2+\cdots+m\times(2n-2)^2+(2n-1)^2\\&=1^2+\cdots+(2n-1)^2+m\{2^2+\cdots+(2n-2)^2\}\\&=\sum_{k=1}^n\{(2k-1)^2+4m(k-1)^2\}\\&=\frac{n(2n-1)}3\{2(m+1)n-(2m-1)\}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}S_{2n}&=1^2+m\times2^2+3^2+m\times4^2+\cdots+(2n-1)^2+m\times(2n)^2\\&=1^2+\cdots+(2n-1)^2+m\{2^2+\cdots+(2n)^2\}\\&=\sum_{k=1}^n\{(2k-1)^2+4mk^2\}\\&=\frac{n(2n+1)}3\{2(m+1)n+(2m-1)\}\end{aligned}$

그러므로 극한을 계산하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^3}=\frac{m+1}6$이 자연수가 되어야 한다.따라서 $\displaystyle m=6k-1$ ($\displaystyle k$는 자연수) 또는 $\displaystyle m=6k+5$ ($\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$ 이상의 정수)의 형태이다.