자연계열 II (오후) 2번

주어진 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}(a,0)$이라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OO}^{\prime}}=a$이다. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}\mathrm P$로부터, $\displaystyle a=\frac1{\sin(\theta/2)}$.또한 점 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}$과 곡선 $\displaystyle L$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm R$을 이으면, 두 선분 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}\mathrm R$와 $\displaystyle \mathrm{OR}$가 서로 수직임을 쉽게 알 수 있다. 왜냐하면 $\displaystyle \mathrm R$이 해당하는 현의 중점이기 때문이다. 따라서 $\displaystyle L$은 선분 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$을 지름으로 하는 원 위의 점들 중 주어진 원 $\displaystyle C$의 내부에 있는 호이다. 중심각이 $\displaystyle 2\theta$이고 반지름은 $\displaystyle \frac a2$인 호 $\displaystyle L$의 길이는 $\displaystyle \frac a2\times2\theta=\frac\theta{\sin(\theta/2)}$로 주어진다. 따라서 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac\theta{\sin(\theta/2)}=2\lim_{\theta\to0+}\frac{\theta/2}{\sin(\theta/2)}=2$.