자연계열 I (오전) 3번

[3-1 번]부등식의 경계인 $\displaystyle |\vec a|+|\vec v-\vec a|=2|\vec v|$를 직접 $\displaystyle \vec a$에 대해 계산하여 얻을 수도 있다.즉, $\displaystyle \vec a=(x,y)$라 두면$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(c-x)^2+y^2}=2c$를 얻고,$\displaystyle \begin{aligned}(c-x)^2+y^2&=(2c-\sqrt{x^2+y^2})^2\\&=4c^2-4c\sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2\end{aligned}$과 같이 근호를 차례로 제거하여 정리하면,$\displaystyle \frac{\left(x-\frac c2\right)^2}{c^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{\sqrt3 c}2\right)^2}=1.$

이 방정식은 장축의 길이가 $\displaystyle 2c$, 단축의 길이가 $\displaystyle \sqrt3 c$인 타원이므로, 구하려는 도형은 이 경계선을 포함한 타원의 내부이다.

[3-2번]벡터 $\displaystyle \vec a$가 집합 $\displaystyle S$의 원소이므로 $\displaystyle \vec a$가 $\displaystyle |\vec a|=m$과 $\displaystyle |\vec a-\vec v|=n$을 만족하는 서로 다른 $\displaystyle 2$개의 $\displaystyle \vec a$가 존재한다. $\displaystyle \vec v$의 시점과 종점을 연결한 선분을 $\displaystyle \mathrm{OV}$라 하고 $\displaystyle \vec a$의 시점과 종점을 연결한 선분을 $\displaystyle \mathrm{OA}$라 했을 때, $\displaystyle \vec a-\vec v$를 나타내는 선분은 $\displaystyle \mathrm{VA}$이다.

경우1. 선분 $\displaystyle \mathrm{OV}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$가 한 직선상에 놓이지 않은 경우를 생각하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OVA}$의 두변의 길이의 합이 나머지 한변의 길이보다 크기 때문에 $\displaystyle |\vec v-\vec a|-|\vec a|<|\vec v|<|\vec v-\vec a|+|\vec a|$이 항상 성립한다.따라서 $\displaystyle n-m=|\vec v-\vec a|-|\vec a|<|\vec v|<|\vec v-\vec a|+|\vec a|=n+m$.경우2. 선분 $\displaystyle \mathrm{OV}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$가 평행하여 한 직선상에 놓인 경우를 생각하자.1) $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec v-\vec a$가 같은 방향인 경우명제 $\displaystyle p_2$를 만족하는 $\displaystyle \vec a$는 벡터 $\displaystyle \vec v$의 방향과 일치하고 $\displaystyle |\vec a|=m$인 하나의 벡터밖에 없다.2) $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec v-\vec a$가 반대 방향인 경우명제 $\displaystyle p_2$를 만족하는 $\displaystyle \vec a$는 벡터 $\displaystyle \vec v$의 방향과 반대이고 $\displaystyle |\vec a|=m$인 하나의 벡터밖에 없다.따라서 $\displaystyle \vec a$가 $\displaystyle |\vec a|=m$과 $\displaystyle |\vec a-\vec v|=n$을 만족하는 서로 다른 $\displaystyle 2$개의 $\displaystyle \vec a$가 있을 필요충분조건은 경우 1의 $\displaystyle n-m<|\vec v|<n+m$이다.