자연계열 II (오후) 4번

[문제 4-1]영역 $\displaystyle C$를 표현하면 $\displaystyle \{(a,b)\mid b\geq-\sqrt3 a,\ a\leq0\}\cup\{(a,b)\mid b\geq-a,\ a\geq0\}$이다. 경계선 위의 점 $\displaystyle (a,b)=\left(-\frac1{\sqrt2},\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\right)$을 대입하고 $\displaystyle (a,b)=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)$을 대입하여 $\displaystyle ax+by\geq0$을 만족하는 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle \frac{-1}{\sqrt2}x+\frac{\sqrt3}{\sqrt2}y\geq0$과 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}x-\frac1{\sqrt2}y\geq0$을 만족한다. 이러한 조건을 만족하는 $\displaystyle (x,y)$의 집합이 $\displaystyle D$이다.$\displaystyle D=\left\{(x,y)\,\middle|\,\frac x{\sqrt3}\leq y\leq x,\ x\geq0\right\}$이며 경계선은 $\displaystyle D_1=\left\{(x,y)\,\middle|\,y=\frac x{\sqrt3},\ x\geq0\right\}$과 $\displaystyle D_2=\{(x,y)\mid y=x,\ x\geq0\}$이다.

[문제 4-2]영역 $\displaystyle B\cap D$가 나타내는 도형은 부채꼴이고, 이 부채꼴의 중심각의 크기는 $\displaystyle \frac\pi4-\frac\pi6=\frac\pi{12}$이다. 따라서 이 부채꼴의 반지름의 길이는 $\displaystyle 1$이므로 영역 $\displaystyle B\cap D$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac\pi{12}=\frac\pi{24}$그리고 영역 $\displaystyle B\cap C$가 나타내는 도형은 부채꼴이고, 이 부채꼴의 중심각의 크기는 $\displaystyle \frac{2\pi}3+\frac\pi4=\frac{11\pi}{12}$이다. 따라서 이 부채꼴의 반지름의 길이는 $\displaystyle 1$이므로 영역 $\displaystyle B\cap C$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\frac{11\pi}{12}=\frac{11\pi}{24}$이다.따라서 구하는 답은 $\displaystyle \frac\pi{24}+\frac{11\pi}{24}=\frac\pi2$이다.

[문제 4-3번][문제 4-1]과 같은 원리를 적용하면 경계선 $\displaystyle D_1^{\prime}=\left\{(x,y)\,\middle|\,y=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x,\ x\geq0\right\}$,$\displaystyle D_2^{\prime}=\left\{(x,y)\,\middle|\,y=\frac{\sin\omega}{\cos\omega}x,\ x\geq0\right\}$을 얻는다.