자연계열 1교시 3번

$\displaystyle 0=y^3-3e^{2x}y+2e^{3x}=(y-e^x)^2(y+2e^x)$이므로 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$는 $\displaystyle y=e^x$또는 $\displaystyle y=-2e^x$위에 있다. $\displaystyle y\ge0$이므로 $\displaystyle y=e^x$ 위에 있다. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle 2x-y-6=0$이다.

$\displaystyle y=e^x$에서 기울기가 2인 점은 $\displaystyle (\ln2,2)$이고,

이 점에서 직선 $\displaystyle 2x-y-6=0$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{8-2\ln2}{\sqrt5}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt5$이므로 삼각형의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle 4-\ln2$이다.

두 삼각형의 넓이의 합이 전체 삼각형의 넓이와 같다는 것을 이용하면$\displaystyle 2\sin3x=2f(x)\sin x+f(x)\sin2x$

이고 $\displaystyle \sin3x=\sin(x+2x)=\sin x\cos2x+\cos x\sin2x$를 이용하여 정리하면$\displaystyle f(x)=\frac{4\cos^2x-1}{1+\cos x}$이다.

$\displaystyle \cos x=y$로 치환하여 적분하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi4}\frac{4\cos^2x-1}{1+\cos x}\sin^3x\,dx&=\int_{\frac{\sqrt2}2}^{\frac{\sqrt3}2}\frac{4y^2-1}{y+1}(1-y^2)dy\\&=\int_{\frac{\sqrt2}2}^{\frac{\sqrt3}2}(4y^2-1)(1-y)dy=\frac{\sqrt2}6-\frac3{16}\end{aligned}$