자연계열 (오전) 1번

[문제 1]1. 제시문 <가>의 곡선은$\displaystyle x ( t ) = 2 \sin t$, $\displaystyle y ( t ) = 3 \cos ( 2 t ) = 3 ( 1 - 2 \sin^{2} t ) = 3 \left\{ 1 - \frac{{x ( t )^{2}}}{2} \right\}$이다. 즉, $\displaystyle y = 3 \left( 1 - \frac{x^{2}}{2} \right)$ $\displaystyle \left( - 2 \le x \le 2 \right)$이다.이 곡선이 점 $\displaystyle \left( \pm \sqrt{2} , 0 \right)$에서 $\displaystyle x$축과 만나므로, $\displaystyle {\mathrm{F}} \left( \sqrt{2} , 0 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{F}^{\prime}} ( - \sqrt{2} , 0 )$으로 놓을 수 있다. 그리고 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 , 3 )$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 0 , - 3 \right)$이다. 그러므로 두 초점이 $\displaystyle \mathrm{F}$, $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}$이고 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$가 단축인 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3^{2} + 2} = 2 \sqrt{11}$이다. 이로부터 구하는 타원의 방정식은$\displaystyle \frac{x^{2}}{11} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

2. $\displaystyle A = 1$, $\displaystyle B = 3$, $\displaystyle 3 \frac{\pi}{4} < \theta < \pi$일 때, 제시문 <가>의 곡선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표를 계산하자.$\displaystyle y ( t ) = 3 \cos ( 2 t + \theta ) = 0$그런데 $\displaystyle 3 \frac{\pi}{4} < 2 t + \theta < 7 \frac{\pi}{4}$이므로 $\displaystyle 2 t + \theta = 3 \frac{\pi}{2}$, 즉, $\displaystyle t = 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$가 되고 이로부터 $\displaystyle x ( t ) = \sin \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right)$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sin \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right) , 0 \right)$이다.제시문 <가>의 곡선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{S}$의 좌표를 계산하자.$\displaystyle x ( t ) = \sin t = 0$그런데 $\displaystyle 0 \le t \le 3 \frac{\pi}{8}$이므로 $\displaystyle t = 0$이고 $\displaystyle y ( 0 ) = 3 \cos \theta$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{S}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , 3 \cos \theta \right)$이다.이제 $\displaystyle y$좌표가 최소가 되는 점 $\displaystyle \mathrm{T}$를 찾자. $\displaystyle \cos ( 2 t + \theta ) = - 1$일 때 $\displaystyle y$좌표가 최소가 되므로, $\displaystyle 2 t + \theta = \pi$, 즉 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{T}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) , - 3 \right)$$\displaystyle = \left( \cos \frac{\theta}{2} , - 3 \right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{U}$는 점 $\displaystyle \mathrm{T}$를 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭 이동하여 얻어지므로 $\displaystyle \mathrm{U}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - \cos \frac{\theta}{2} , - 3 \right)$이다.그러므로$\displaystyle f ( \theta ) = \overrightarrow{\mathrm{RU}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{ST}}$$\displaystyle = \left( - \cos \frac{\theta}{2} - \sin \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right) , - 3 \right) \bullet \left( \cos \frac{\theta}{2} , - 3 - 3 \cos \theta \right)$$\displaystyle = \cos \frac{\theta}{2} \left( - \cos \frac{\theta}{2} - \sin \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right) \right) + 9 + 9 \cos \theta$삼각함수의 덧셈정리에 의하면$\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} \sin \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right) + \cos \frac{\theta}{2} \cos \left( 3 \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right) \right) - 9 \sin \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \left( 3 \frac{\pi}{4} - \theta \right) - 9 \sin \theta = - \frac{17}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \left( 3 \frac{\pi}{4} - \theta \right)$$\displaystyle \theta$에 $\displaystyle 5 \frac{\pi}{6}$를 넣으면 $\displaystyle f^{\prime} \left( 5 \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{17}{2} \sin 5 \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{12}$그런데 $\displaystyle \sin 5 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{12} = \cos \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}{4}$이므로$\displaystyle f^{\prime} \left( 5 \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{17}{4} + \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}{8}$

3. $\displaystyle x ( t )^{2} + 2 y ( t )^{2} = \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$이므로 제시문 <나>의 곡선은 타원 $\displaystyle x^{2} + 2 y^{2} = 1$이다.기울기가 $\displaystyle m$인 접선의 방정식을 $\displaystyle y = m x + n$라 하면, 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x^{2} + 2 ( m x + n )^{2} = 1$을 만족한다. 중근을 가져야 하므로,$\displaystyle D / 4 = ( 2 m n )^{2} - ( 1 + 2 m^{2} ) ( 2 n^{2} - 1 ) = 0$⇒ $\displaystyle 2 n^{2} = 2 m^{2} + 1$ ⇒ $\displaystyle n = \pm \sqrt{m^{2} + \frac{1}{2}}$따라서 기울기가 $\displaystyle m$인 접선의 방정식은 $\displaystyle y = m x \pm \sqrt{m^{2} + \frac{1}{2}}$이다.기울기가 $\displaystyle m$인 접선이 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , b \right)$를 지날 때$\displaystyle \left( a \ne \pm 1 \right)$$\displaystyle b = m a \pm \sqrt{m^{2} + \frac{1}{2}}$ ⇒ $\displaystyle ( b - m a )^{2} = m^{2} + \frac{1}{2}$⇒ $\displaystyle ( a^{2} - 1 ) m^{2} - 2 a b m + b^{2} - \frac{1}{2} = 0$$\displaystyle \cdots \cdots$①식 ①의 두 근을 $\displaystyle m_{1}$, $\displaystyle m_{2}$라 하면, 두 직선이 서로 수직으로 만날 조건에 의해 $\displaystyle m_{1} m_{2} = \frac{{b^{2} - \frac{1}{2}}}{a^{2} - 1} = - 1$이다. 따라서 $\displaystyle a^{2} + b^{2} = \frac{3}{2}$을 만족한다. 한편, $\displaystyle a = \pm 1$일 때 즉, 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , b \right)$의 좌표가 $\displaystyle \left( 1 , \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, $\displaystyle \left( 1 , - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, $\displaystyle \left( - 1 , \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, $\displaystyle \left( - 1 , - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$일 때도 모두 타원에 그은 접선은 수직이고, $\displaystyle a^{2} + b^{2} = \frac{3}{2}$을 만족하므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 자취는 중심이 원점 $\displaystyle \left( 0 , 0 \right)$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$인 원이다.