자연계열 (오후2) 1번

[문제 1]

1. 원점 $\displaystyle \mathrm{O} \left( 0 , 0 \right)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$, $\displaystyle - \sqrt{3}$인 직선과 포물선 $\displaystyle y = x^{2}$이 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하면, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \sqrt{3} , 3 \right)$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( - \sqrt{3} , 3 \right)$이고 $\displaystyle \angle \mathrm{QOP} = \frac{\pi}{3}$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QOP}$는 정삼각형이다.

한 변 $\displaystyle \mathrm{OP}$의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이므로 이 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot ( 2 \sqrt{3} )^{2} = 3 \sqrt{3}$이다.

2. 오른쪽 그림에서 $\displaystyle \tan t=\frac{b^2-a^2}{b-a}=b+a\quad\left(-\frac\pi2<t<\frac\pi2\right)$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PQ}}&=\sqrt{(b-a)^2+(b^2-a^2)^2}=|b-a|\cdot\sqrt{1+(b+a)^2}\\&=|\tan t-2a|\cdot\sqrt{1+\tan^2t}=|(\tan t-2a)\cdot\sec t|\end{aligned}$이다.

3. 문제 2번에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \sqrt{2} , 2 \right)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle \tan t \left( - \frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \right)$인 직선이 $\displaystyle y = x^{2}$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle = | ( \tan t - 2 \sqrt{2} ) \cdot \sec t |$이다.$\displaystyle g ( t ) = ( \tan t - 2 \sqrt{2} ) \cdot \sec t$라 하면, $\displaystyle - \frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle g ( t )$는 연속함수이다.

$\displaystyle g'(t)=\sec t\cdot(2\tan^2t-2\sqrt2\tan t+1)=\sec t(\sqrt2\tan t-1)^2\ge0$로부터

$\displaystyle g ( t )$는 증가함수임을 알 수 있고, $\displaystyle \lim_{t \to \frac{\pi}{2} -} g ( t ) = \infty$, $\displaystyle \lim_{t \to - \frac{\pi}{2} +} g ( t ) = - \infty$로부터 $\displaystyle g ( t )$의 그래프는 [그림 1]과 같다.$\displaystyle f ( t ) = | g ( t ) |$ $\displaystyle \left( = \overline{\mathrm{PQ}} \right)$라 하면, $\displaystyle f ( t )$ 역시 연속함수이고, 그래프는 [그림 2]와 같다.

$\displaystyle y = x^{2}$ 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$에 대해 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 기울기가 $\displaystyle \tan t$이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = f ( t )$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 꼭짓점으로 하고 다른 두 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{S}$도 $\displaystyle y = x^{2}$ 위에 있는 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{PRS}$가 있기 위해서는,즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PS}} = \overline{\mathrm{PR}}$이고, $\displaystyle \angle \mathrm{RPS} = \frac{\pi}{3}$인 점 $\displaystyle \mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{S}$가 $\displaystyle y = x^{2}$ 위에 있기 위해서는,$\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$ 안에 어떤 두 점 $\displaystyle r$, $\displaystyle s$가 있어 $\displaystyle f ( r ) = f ( s )$이고, 다음 조건 중 하나를 만족해야 한다.(1) $\displaystyle t_{0} < s < r$이고 $\displaystyle | r - s | = \frac{\pi}{3}$, 또는(2) $\displaystyle s < t_{0} < r$이고 $\displaystyle | r - s | = 2 \frac{\pi}{3}$, 또는(3) $\displaystyle s < r < t_{0}$이고 $\displaystyle | r - s | = \frac{\pi}{3}$

여기서 $\displaystyle t_0$는 $\displaystyle f ( t_{0} ) = 0$을 만족하는 점 (즉, $\displaystyle \tan t_{0} = 2 \sqrt{2} =$점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 기울기)이다.Comment. 소문항 3에서는 $\displaystyle f(t)=|(\tan t-2\sqrt2)\sec t|$를 함수로 정의하고, $\displaystyle \tan t_0=2\sqrt2$일 때 $\displaystyle f(t_0)=0$임을 명시한다. 이때 $\displaystyle P$와 다른 교점 $\displaystyle Q$는 존재하지 않으며, $\displaystyle f(t_0)=0$은 길이 식을 접선인 경우까지 확장한 값이다. 이처럼 확장한 함수는 연속이므로 대학 예시답안처럼 그래프를 이용해도 무방하다. 정삼각형을 구성하는 경우에는 변의 길이가 양수이므로, 정삼각형이 $\displaystyle 1$개라는 결론에도 영향이 없다.

$\displaystyle f ( r ) = f ( s )$이고 위 세 조건 중 하나를 만족하는 $\displaystyle r$, $\displaystyle s$가 있다면점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나고 기울기가 각각 $\displaystyle \tan r$, $\displaystyle \tan s$인 선분이 $\displaystyle y = x^{2}$와 만나는 점 $\displaystyle \mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{S}$에 대해 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PRS}$가 구하는 정삼각형이 된다.함수 $\displaystyle f ( t )$의 그래프로부터 이러한 두 점 $\displaystyle r$, $\displaystyle s$는 유일하게 존재함을 알 수 있다.([그림3]에서 조건 (1), (3)의 경우는 없고, 조건 (2)의 경우만 해당함을 알 수 있다.)따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 한 꼭짓점으로 하고 다른 두 꼭짓점도 $\displaystyle y = x^{2}$에 있는 정삼각형은 $\displaystyle 1$개 존재한다. ([그림4] 참조).