자연계열 (오후1) 2번

1. 학생의 수가 $\displaystyle n$명인 학급의 담임 선생님은 $\displaystyle k$명으로 구성된 조가 방문하면 이들에게 나눠줄 $\displaystyle k$개의 연필을 준비해야한다. $\displaystyle k$명으로 구성된 조는 $\displaystyle {}_n\mathrm C_k$개가 가능하므로 어떤 경우라도 연필을 나누어 줄 수 있기 위해 담임 선생님이 준비해야하는 연필의 최소 개수는 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k\times{}_n\mathrm C_k$이다. 이를 이항정리를 활용하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}&\sum_{k=1}^n k\times{}_n\mathrm C_k\\&=\sum_{k=1}^n k\times\frac{n!}{(n-k)!k!}\\&=\sum_{k=1}^n n\times\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}\\&=\sum_{k=1}^n n\times{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}\\&=n2^{n-1}\end{aligned}$따라서, 구하고자 하는 연필의 최소개수는 $\displaystyle n2^{n-1}$개다.

2. 담임 선생님은 $\displaystyle k$명으로 구성된 조가 방문하면 이들에게 나눠줄 $\displaystyle k^2$개의 공책을 준비해야 한다. $\displaystyle k$명으로 구성된 조는 $\displaystyle {}_n\mathrm C_k$개가 가능하므로 담임 선생님이 준비해야하는 공책의 최소개수는 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2\times{}_n\mathrm C_k$이다. 이를 다음과 같이 정리할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}&\sum_{k=1}^n k^2\times{}_n\mathrm C_k\\&=\sum_{k=1}^n k\times k\times\frac{n!}{(n-k)!k!}\\&=\sum_{k=1}^n k\times n\times\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}\\&=\sum_{k=1}^n k\times n\times{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}\\&=n\left(\sum_{k=1}^n(k-1)\times{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}+\sum_{k=1}^n{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}\right)\\&=n\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\times{}_{n-1}\mathrm C_k+\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm C_k\right)\end{aligned}$1번 문제의 결과에 $\displaystyle n$대신 $\displaystyle n-1$을 대입한 결과 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k\times{}_{n-1}\mathrm C_k=(n-1)2^{n-2}$와 이항정리를 적용하면 위 식은 $\displaystyle n\{(n-1)2^{n-2}+2^{n-1}\}=n(n+1)2^{n-2}$와 같다. 따라서, 구하고자 하는 공책의 최소개수는 $\displaystyle n(n+1)2^{n-2}$개다.

3. 3명이 조를 짜서 방문하면 각 조원들은 3권의 공책을 받는다. 공책의 색깔이 매번 임의로 선택이 되기 때문에 3권 중 2권이상이 파란색 공책일 확률은 $\displaystyle {}_3\mathrm C_2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)+{}_3\mathrm C_3\left(\frac12\right)^3=\frac12$이다. 한 학생이 포함되며 조원이 3명인 조가 6개가 있고, 6번 방문에서 매번 공책의 색깔은 독립적으로 결정되므로 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \left(\frac12\right)^6=\frac1{64}$이다.