자연계열 (오전) 2번

1. 문제에서 주어진 이차방정식을 $\displaystyle h ( x ) = x^{2} - 2 ( s t - \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) x + 1$으로 나타내자.두 부등식 $\displaystyle \beta \le \frac{s}{t} \le \alpha$, $\displaystyle \beta \le \frac{t}{s} \le \alpha$를 보이기 위하여 이차함수 $\displaystyle h ( x )$의 그래프를 생각하면, $\displaystyle h \left( \frac{t}{s} \right) \le 0$, $\displaystyle h \left( \frac{s}{t} \right) \le 0$임을 보이면 된다.우선 $\displaystyle h \left( \frac{t}{s} \right)$, $\displaystyle h \left( \frac{s}{t} \right)$를 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle h \left( \frac{t}{s} \right) = \frac{t^{2}}{s^{2}} - 2 ( s t - \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) \frac{t}{s} + 1$$\displaystyle = \frac{1}{s^{2}} ( t^{2} - 2 s t ( s t - \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) + s^{2} )$$\displaystyle h \left( \frac{s}{t} \right) = \frac{s^{2}}{t^{2}} - 2 ( s t - \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) \frac{s}{t} + 1$$\displaystyle = \frac{1}{t^{2}} ( s^{2} - 2 s t ( s t - \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) + t^{2} )$그런데, 양수 $\displaystyle s$, $\displaystyle t$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.$\displaystyle 2 s t ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) \le 2 s t | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \le s^{2} | \overrightarrow{b} |^{2} + t^{2} | \overrightarrow{a} |^{2} = 2 s^{2} t^{2} - s^{2} - t^{2}$$\displaystyle \cdots \cdots$①①의 부등식을 정리하면, $\displaystyle t^{2} + 2 s t ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) + s^{2} - 2 s^{2} t^{2} = t^{2} - 2 s t ( s t - ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) ) + s^{2} \le 0$이다.그러므로 $\displaystyle h \left( \frac{t}{s} \right) \le 0$, $\displaystyle h \left( \frac{s}{t} \right) \le 0$이다.

2. $\displaystyle f ( x - 3 ) = | | x - 6 | - 3 |$과 $\displaystyle f^{2} ( x - 3 \cdot 2 )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle A_1$의 넓이는 $\displaystyle S_1=\pi\left[\sum_{k=1}^2(24k-12)\right]=48\pi$이다.같은 방법으로 $\displaystyle n$이 홀수, 짝수인 경우를 나누어 생각하여 넓이를 구할 수 있다.$\displaystyle A_{2n-1}$의 넓이를 계산하면, $\displaystyle S_{2n-1}=\pi\{27(2n-1)^2+18(2n-1)+3\}$이다.$\displaystyle A_{2n}$의 넓이를 계산하면, $\displaystyle S_{2n}=\pi\{27(2n)^2+18(2n)+1\}$이다.$\displaystyle A_n$의 넓이를 구해보면, $\displaystyle S_n=\pi\{27n^2+18n+(-1)^{n+1}+2\}$이다.그러므로 극한값은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=27\pi$이다.

3. $\displaystyle S$를 정사각형 $\displaystyle \mathrm{EFGH}$에 들어있는 넓이가 최대인 정삼각형이라 하면, $\displaystyle S$를 적당히 이동해 의해 $\displaystyle S$의 두 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$는 정사각형 $\displaystyle \mathrm{EFGH}$의 인접한 두 변에 놓여있다고 할 수 있다. 이 두 변을 변 $\displaystyle \mathrm{FG}$와 변 $\displaystyle \mathrm{GH}$라 가정하자.$\displaystyle \mathrm{S}$의 다른 한 꼭짓점이 정사각형 $\displaystyle \mathrm{EFGH}$의 내부에 있다면, $\displaystyle S$보다 넓이가 더 큰 정삼각형을 찾을 수 있으므로 모순이다.따라서 $\displaystyle S$의 다른 한 꼭짓점은 변 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 또는 변 $\displaystyle \mathrm{HE}$ 위에 있다.이 꼭짓점이 변 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 또는 변 $\displaystyle \mathrm{HE}$ 위에 있고 점 $\displaystyle \mathrm{E}$가 아니라면, 평행이동에 의해 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{Q}$를 정사각형 $\displaystyle \mathrm{EFGH}$의 내부에 있도록 할 수 있어 모순이다.따라서 정삼각형 $\displaystyle S$의 다른 한 꼭짓점은 점 $\displaystyle \mathrm{E}$이다.이때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EPF}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EQH}$는 합동이고, $\displaystyle \frac{1}{\overline{\mathrm{EP}}} = \cos \left( \frac{\pi}{12} \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{EP}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$이다.따라서 $\displaystyle S$의 넓이$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} ( \sqrt{6} - \sqrt{2} )^{2} = 2 \sqrt{3} - 3$이다.

정사영 $\displaystyle S$의 한 꼭짓점이 정사각형 $\displaystyle \mathrm{EFGH}$의 한 꼭짓점이 되므로 이 꼭짓점의 선택에 따라 정사영 $\displaystyle S$는 다음 $\displaystyle 4$가지 경우 중 하나가 되고, 각 경우 $\displaystyle 3$개의 $\displaystyle T$가 존재하므로 구하는 $\displaystyle T$는 모두 $\displaystyle 12$개이다.

$\displaystyle 12$개의 삼각형 $\displaystyle T$는 모두 합동임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 그 중 하나인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$의 넓이를 구하자. $\displaystyle T$를 포함하는 평면의 방정식은 $\displaystyle x + y + \sqrt{3} z = 3 - \sqrt{3}$이고, 이 평면과 $\displaystyle x y -$평면이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면,$\displaystyle \cos \theta = \frac{{1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 1}}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + \sqrt{3}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$이다.따라서 ($\displaystyle T$의 넓이)$\displaystyle \times \cos \theta$$\displaystyle =$($\displaystyle S$의 넓이)이므로$\displaystyle T$의 넓이$\displaystyle = \frac{1}{\cos \theta} \cdot ( 2 \sqrt{3} - 3 ) = 2 \sqrt{5} - \sqrt{15}$이다.