자연계열 (오후2) 2번

[문제 2]1. $\displaystyle b=e^2a$로 두면, 선분 AP의 방정식과 선분 PB의 방정식은 각각$\displaystyle y=\frac{\frac1t-\frac1a}{t-a}(x-a)+\frac1a=-\frac1{at}(x-a)+\frac1a\quad(a\le x\le t),\quad y=-\frac1{bt}(x-t)+\frac1t\quad(t\le x\le b)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_a^t\left\{-\frac1{at}(x-a)+\frac1a-\frac1x\right\}\,dx=\Biggl[-\frac1{2at}(x-a)^2+\frac xa-\ln x\Biggr]_a^t\\&=-\frac1{2at}(t-a)^2+\frac ta-\ln t-1+\ln a=\frac12\left\{\frac ta-\frac at+2\ln\frac at\right\}.\end{aligned}$비슷하게$\displaystyle S_2=\frac12\left\{\frac bt-\frac tb+2\ln\frac tb\right\}$이 성립하고, 이로부터$\displaystyle S_1+S_2=\frac12\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)t+\frac{b-a}t+2\ln\frac ab\right\}=\frac12\left\{(b-a)\left(\frac t{ab}+\frac1t\right)+2\ln\frac ab\right\}$을 얻는다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의해$\displaystyle S_1+S_2\ge(b-a)\frac1{\sqrt{ab}}+\ln\frac ab=\frac{(e^2-1)a}{ea}+\ln\frac a{e^2a}=\frac{e^2-1}e-2$이 성립하고 등호는 $\displaystyle t=\sqrt{ab}=ea$일 때 성립한다. 따라서 $\displaystyle S_1+S_2$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{e^2-1}e-2$이다.

2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} = 2019$이므로, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \ln a_{n} = \ln 2019$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$이다.그런데, $\displaystyle 2019 = \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} = \lim_{n \to \infty} \left[ 1 + ( a_{n} - 1 ) \right]^{n}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \left[ 1 + ( a_{n} - 1 ) \right]^{\frac{1}{a_{n} - 1} n ( a_{n} - 1 )}$이다.양변에 로그를 취하면,$\displaystyle \ln 2019 = \lim_{n \to \infty} \ln \left[ 1 + ( a_{n} - 1 ) \right]^{\frac{1}{a_{n} - 1} \cdot n ( a_{n} - 1 )}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} n ( a_{n} - 1 ) \ln \left[ 1 + ( a_{n} - 1 ) \right]^{\frac{1}{a_{n} - 1}}$을 얻는다.$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( 1 + ( a_{n} - 1 ) )^{\frac{1}{a_{n} - 1}} = e$이므로, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \ln \left[ 1 + ( a_{n} - 1 ) \right]^{\frac{1}{a_{n} - 1}} = 1$이다.따라서 구하는 극한값은 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n ( a_{n} - 1 ) = \ln 2019$이다.

3. $\displaystyle \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^4=4$를 미분하면$\displaystyle \Rightarrow\ 2f(x)f'(x)-4\{g(x)\}^3g'(x)=0\quad\Rightarrow\quad\frac{g'(x)}{f(x)}=\frac{f'(x)}{2\{g(x)\}^3}\quad\cdots\cdots\cdots\ ①$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx&=\int_0^\pi\left[\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}-\frac{f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\right]\,dx\\&=\int_0^\pi\left[\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\right]\,dx=\int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx-\int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\,dx\end{aligned}$(1) $\displaystyle \int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\,dx=\Biggl[-\frac1{f(x)}\Biggr]_0^\pi=-\left(\frac1{f(\pi)}-\frac1{f(0)}\right)=-\left(\frac15-\frac13\right)=\frac2{15}$(2) ①의 관계식에 의해 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx=\int_0^\pi\frac{\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{3g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx=\frac32\int_0^\pi\frac{2\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx$따라서 적분값을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\frac32\int_0^\pi\frac{2\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx&=\frac32\int_0^\pi\frac{f(x)f'(x)}{f(x)(\{f(x)\}^2-4)}\,dx=\frac32\int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2-4}\,dx\\&=\frac38\int_0^\pi\left(\frac{f'(x)}{f(x)-2}-\frac{f'(x)}{f(x)+2}\right)\,dx\\&=\frac38\Biggl[\ln|f(x)-2|-\ln|f(x)+2|\Biggr]_0^\pi\\&=\frac38\{\ln3-\ln7+\ln5\}=\frac38\ln\frac{15}7\end{aligned}$(1)과 (2)로부터 구하는 적분값은 $\displaystyle -\frac2{15}+\frac38\ln\frac{15}7$이다.