자연계열 (오후1) 1번

1. 일차함수 $\displaystyle f(x)=bx+c\ (b\ne0)$가 (＊)를 만족한다면, 임의의 $\displaystyle x,y$에 대하여Correction. 첫 줄의 $\displaystyle f(x)=bx+c$는 뒤 계산에서 사용한 $\displaystyle f(x)=ax+b$와 계수 기호가 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \{f(xy)\}^2=(axy+b)^2=a^2x^2y^2+b^2+2abxy,\qquad f(x^2)f(y^2)=(ax^2+b)(ay^2+b)=a^2x^2y^2+abx^2+aby^2+b^2$이므로$\displaystyle a^2x^2y^2+b^2+2abxy=a^2x^2y^2+b^2+abx^2+aby^2.$따라서$\displaystyle 0=ab(x^2+y^2-xy)=ab(x-y)^2$Correction. 전개식의 $\displaystyle ab(x^2+y^2-xy)$는 $\displaystyle ab(x^2+y^2-2xy)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고 $\displaystyle a\ne0$이므로 $\displaystyle b=0.$

2. $\displaystyle g(x)=ax^k+f(x)$가 (＊)를 만족한다면, 임의의 $\displaystyle x,y$에 대하여$\displaystyle \{g(xy)\}^2=\{a(xy)^k+f(xy)\}^2=a^2(xy)^{2k}+f(xy)^2+2a(xy)^kf(xy),$$\displaystyle g(x^2)g(y^2)=(ax^{2k}+f(x^2))(ay^{2k}+f(y^2))=a^2(xy)^{2k}+f(x^2)f(y^2)+ay^{2k}f(x^2)+ax^{2k}f(y^2)$이고, $\displaystyle \{f(xy)\}^2=f(x^2)f(y^2)$이므로$\displaystyle 2a(xy)^kf(xy)=ax^{2k}f(y^2)+ay^{2k}f(x^2).$다시 양변을 제곱하면$\displaystyle 4a^2x^{2k}y^{2k}\{f(xy)\}^2=a^2x^{4k}f(y^2)^2+a^2y^{4k}f(x^2)^2+2a^2x^{2k}y^{2k}f(x^2)f(y^2)$이고, $\displaystyle \{f(xy)\}^2=f(x^2)f(y^2)$을 이용하여 정리하면$\displaystyle a^2\{x^{2k}f(y^2)-y^{2k}f(x^2)\}^2=0.$따라서, 임의의 $\displaystyle x,y$에 대하여$\displaystyle x^{2k}f(y^2)-y^{2k}f(x^2)=0.$한편, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle (k-1)$차 함수이므로 $\displaystyle f(p)\ne0$인 실수 $\displaystyle p$가 존재한다. 따라서 이 $\displaystyle p$와 임의의 $\displaystyle y$에 대해$\displaystyle p^kf(y^2)-y^{2k}f(p)=0.\quad\cdots\cdots\cdots\cdots(\text{＊＊})$하지만 $\displaystyle f(p)\ne0$이어서 임의의 $\displaystyle y$에 대해 (＊＊)는 성립할 수 없고, (＊)를 만족하는 $\displaystyle g(x)$는 존재하지 않는다.

3. 임의의 $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle f ( 0 )^{2} = f ( 0 ) f ( y^{2} )$이므로, 만약 $\displaystyle f ( 0 ) \ne 0$이면 $\displaystyle f ( y ) = f ( 0 )$.한편, $\displaystyle f ( x )$가 상수함수가 아니므로 $\displaystyle f ( 0 ) = 0$임을 알 수 있다.이제 $\displaystyle f ( x )$를 $\displaystyle k$차 다항함수라 하자. $\displaystyle f ( 0 ) = 0$이므로, 인수정리(나머지정리)에 의해 적당한 $\displaystyle ( k - 1 )$차 다항함수 $\displaystyle g ( x )$에 대해$\displaystyle f ( x ) = x g ( x )$한편 임의의 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle \left\{ f ( x y ) \right\}^{2} = f ( x^{2} ) f ( y^{2} )$이므로$\displaystyle ( x y )^{2} \left\{ g ( x y ) \right\}^{2} = x^{2} g ( x^{2} ) y^{2} g ( y^{2} ) = ( x y )^{2} g ( x^{2} ) g ( y^{2} )$따라서 $\displaystyle ( k - 1 )$차 다항함수 $\displaystyle g ( x )$ 역시 (*)를 만족한다. 다시 $\displaystyle g ( x )$가 상수함수가 아니므로 $\displaystyle g ( 0 ) = 0$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle g ( x )$ 역시 $\displaystyle x$를 약수로 가짐을 알 수 있다. 결국 위의 방법을 반복하면$\displaystyle f ( x ) = a x^{k} ( a \ne 0 )$한편 $\displaystyle a = f ( 1 ) = 2019$이므로$\displaystyle f ( x ) = 2019 x^{k}$