상경계열 2번

1. 두 점의 좌표를 $\displaystyle (m,m^2),(n,n^2)$이라 하면,$\displaystyle \begin{cases}x_0^2+y_0^2=(x_0-m)^2+(y_0-m^2)^2\\x_0^2+y_0^2=(x_0-n)^2+(y_0-n^2)^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}2mx_0+2m^2y_0=m^2+m^4\\2nx_0+2n^2y_0=n^2+n^4\end{cases}$$\displaystyle \begin{cases}2x_0+2my_0=m+m^3\\2x_0+2ny_0=n+n^3\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}2y_0=n^2+nm+m^2+1\\2x_0=-mn(m+n)\end{cases}$$\displaystyle 2x_0+2y_0=(m+n)^2-mn+1-mn(m+n)$$\displaystyle mn=2000$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}2x_0+2y_0&=(m+n)^2-mn+1-mn(m+n)=(m+n)^2-2000(m+n)-1999\\&=((m+n)-1000)^2-1000^2-1999\end{aligned}$

$\displaystyle mn=2000$이고 $\displaystyle m+n$값이 1000에 가장 가까운 경우는 $\displaystyle 2+1000=1002$이므로$\displaystyle 2x_0+2y_0$의 최솟값은 $\displaystyle m+n=1002$일 때, $\displaystyle -1001995$이다.

2.선택된 두 점의 좌표를 $\displaystyle (m,m^2),(n,n^2)$이라 하고 이 두 점과 원점을 지나는 원의 중심을 $\displaystyle (x_0,y_0)$라 하면 두 점 $\displaystyle (m,m^2),(n,n^2)$는 원 $\displaystyle x^2+y^2-2x_0x-2y_0y=0$을 지나므로 $\displaystyle 2y_0=n^2+nm+m^2+1$이다.이때, $\displaystyle Y$의 기댓값은 가능한 모든 $\displaystyle m,n$짝에 대해 원의 중심의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle y_0$와 확률 $\displaystyle \frac1{{}_{10}\mathrm C_2}$을 곱하여 모두 더한 값이다.$\displaystyle m<n$이고 $\displaystyle n=k$일 때 가능한 $\displaystyle (m,n)$은 $\displaystyle (1,k),(2,k),\cdots,(k-1,k)$이므로이들에 대한 $\displaystyle 2y_0$의 합을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{m=1}^{k-1}\{k^2+km+m^2+1\}&=k^2(k-1)+k\frac{(k-1)k}2+\frac{(k-1)k(2k-1)}6+k-1\\&=\frac16\{11k^3-12k^2+7k-6\}.\end{aligned}$

가능한 $\displaystyle n$ 값은 $\displaystyle 2,\cdots,10$이므로 이들에 대해 위에서 구한 값을 모두 더하면,$\displaystyle \sum_{n=2}^{10}\frac16\{11n^3-12n^2+7n-6\}=\frac16\left\{11\cdot\left(\frac{10\cdot11}2\right)^2-12\cdot\frac{10\cdot11\cdot21}6+7\cdot\frac{10\cdot11}2-6\cdot10\right\}=4830$$\displaystyle \therefore\mathrm E(Y)=\frac12\times4830\times\frac1{{}_{10}\mathrm C_2}=\frac{483}9=\frac{161}3$

3.선택된 두 점의 좌표를 $\displaystyle (m,m^2),(n,n^2)$이라 하면 원의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2-2x_0x-2y_0y=0$에서 $\displaystyle 2x_0=-mn(m+n)$이다.$\displaystyle m<n$이라 하고, $\displaystyle m\cdot n\cdot(m+n)=240$인 $\displaystyle m,n$을 찾아보면 $\displaystyle (m,n)=(1,15),(2,10),(4,6)$이므로

$\displaystyle \mathrm E(Z)=\frac{1^2+1\cdot15+15^2+1}2\times\frac13+\frac{2^2+2\cdot10+10^2+1}2\times\frac13+\frac{4^2+4\cdot6+6^2+1}2\times\frac13=74$