의예과 2번

1. ① $\displaystyle x \ge 1$인 경우; $\displaystyle t \in [ 1 , x ]$에 대하여 $\displaystyle \frac{x}{t} \ge 1$이다.따라서 $\displaystyle x \ln x = \int_{1}^{x} \frac{x}{t} d t \ge \int_{1}^{x} 1 d t = x - 1$이다.

② $\displaystyle 0 < x < 1$인 경우; $\displaystyle t \in [ x , 1 ]$에 대하여 $\displaystyle - \frac{x}{t} \ge - 1$이다.

따라서 $\displaystyle x \ln x = \int_{1}^{x} \frac{x}{t} d t \ge \int_{x}^{1} \left( - \frac{x}{t} \right) d t \ge \int_{x}^{1} ( - 1 ) d t = \int_{1}^{x} 1 d t = x - 1$이다.그러므로 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x \ln x \ge x - 1$이 성립한다.$\displaystyle x \ln x \ge x - 1$으로부터 자연수 $\displaystyle 1 \le n \le k$에 대하여 $\displaystyle \frac{a_{n}}{b_{n}} \ln \frac{a_{n}}{b_{n}} \ge \frac{a_{n}}{b_{n}} - 1$임을 알 수 있다.위 부등식의 양변에 $\displaystyle b_{n}$을 곱하면, $\displaystyle a_{n} \ln \frac{a_{n}}{b_{n}} \ge a_{n} - b_{n}$ $\displaystyle \cdots \cdots$(*) 이다.부등식 (*)에서 양변을 $\displaystyle n = 1$에서 $\displaystyle n = k$까지 합을 구하면, 다음 부등식을 얻는다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^k a_n\log\frac{a_n}{b_n}\ge\sum_{n=1}^k(a_n-b_n)=\sum_{n=1}^k a_n-\sum_{n=1}^k b_n=0$이므로,$\displaystyle \sum_{n=1}^k a_n\log a_n\ge\sum_{n=1}^k a_n\log b_n$을 얻는다.

2. $\displaystyle \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^4=4$를 미분하면$\displaystyle \Rightarrow\ 2f(x)f'(x)-4\{g(x)\}^3g'(x)=0\quad\Rightarrow\quad\frac{g'(x)}{f(x)}=\frac{f'(x)}{2\{g(x)\}^3}\quad\cdots\cdots\cdots\ ①$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx&=\int_0^\pi\left[\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}-\frac{f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\right]\,dx\\&=\int_0^\pi\left[\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}-\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\right]\,dx=\int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx-\int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\,dx\end{aligned}$(1) $\displaystyle \int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}\,dx=\Biggl[-\frac1{f(x)}\Biggr]_0^\pi=-\left(\frac1{f(\pi)}-\frac1{f(0)}\right)=-\left(\frac15-\frac13\right)=\frac2{15}$(2) ①의 관계식에 의해 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \int_0^\pi\frac{3f(x)g'(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}\,dx=\int_0^\pi\frac{\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{3g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx=\frac32\int_0^\pi\frac{2\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx$따라서 적분값을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\frac32\int_0^\pi\frac{2\{g(x)\}^3}{f(x)}\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^4}\,dx&=\frac32\int_0^\pi\frac{f(x)f'(x)}{f(x)(\{f(x)\}^2-4)}\,dx=\frac32\int_0^\pi\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2-4}\,dx\\&=\frac38\int_0^\pi\left(\frac{f'(x)}{f(x)-2}-\frac{f'(x)}{f(x)+2}\right)\,dx\\&=\frac38\Biggl[\ln|f(x)-2|-\ln|f(x)+2|\Biggr]_0^\pi\\&=\frac38\{\ln3-\ln7+\ln5\}=\frac38\ln\frac{15}7\end{aligned}$(1)과 (2)로부터 구하는 적분값은 $\displaystyle -\frac2{15}+\frac38\ln\frac{15}7$이다.

3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} = 27$이므로, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \ln a_{n} = \ln 27$이다. 마찬가지로, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \ln b_{n} = \ln 64$이다.자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$이라 하면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( c_{n} )^{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{{( b_{n} )^{n}}}{( a_{n} )^{n}} = \frac{64}{27} \ne 0$이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_{n} = 1$임을 알 수 있다.구하는 극한을 변형하면,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} a_{n} + \frac{2}{3} b_{n} \right)^{n}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \frac{b_{n}}{a_{n}} \right)^{n}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n}$이다.

로그함수 $\displaystyle \ln x$의 $\displaystyle x=1$에서의 미분계수는 1이므로, $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x-\ln1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1$이다.그리고 $\displaystyle \ln\left(\frac13+\frac23x\right)$의 $\displaystyle x=1$에서의 미분계수를 관찰하면, $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln\left(\frac13+\frac23x\right)}{x-1}=\frac23$임을 알 수 있다.

(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{{\ln c_{n}}}{\ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)}$$\displaystyle = \frac{{\lim_{n \to \infty} \ln c_{n}}}{\lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$이다.Caution. 분자와 분모의 극한이 모두 $\displaystyle 0$이므로 극한의 몫으로 바로 계산할 수 없다. 각각 $\displaystyle c_n-1$로 나누면 $\displaystyle \frac{\ln c_n}{c_n-1}\to1$, $\displaystyle \frac{\ln(\frac13+\frac23c_n)}{c_n-1}\to\frac23$이므로 구하는 극한은 $\displaystyle \frac1{2/3}=\frac32$이다.(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{{\ln c_{n}}}{\ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{{n \ln c_{n}}}{n \ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)}$$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{{\ln ( c_{n} )^{n}}}{\ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n}}$$\displaystyle = \frac{{\lim_{n \to \infty} \ln ( c_{n} )^{n}}}{\lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n}}$$\displaystyle = \frac{{\ln \frac{64}{27}}}{\lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n}}$(1)과 (2)로부터 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n} = \frac{2}{3} \cdot \ln \left( \frac{64}{27} \right) = \ln \left( \frac{16}{9} \right)$이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( a_{n} )^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} c_{n} \right)^{n} = 27 \cdot \frac{16}{9} = 48$이다.