의예과 1번

1. 인공위성의 가로, 세로, 높이를 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$라고 하면 부피는 $\displaystyle x y z$이다.산술 기하 평균을 이용하면 $\displaystyle x y z \le \frac{{x^{2} + y^{2}}}{2} z$이고 $\displaystyle x = y$일 때 등호가 성립한다.직육면체 밑면의 대각선의 길이를 $\displaystyle p$라고 하면, $\displaystyle p^{2} = x^{2} + y^{2}$이므로 $\displaystyle x y z \le \frac{{p^{2} z}}{2}$가 된다.부피가 최대가 되기 위해서는 화물칸에 내접해야 하고, 그 경우 오른쪽 그림과 같이 직육면체 윗면의 꼭짓점이 반구에 닿아야 하므로$\displaystyle ( z - r )^{2} + \left( \frac{p}{2} \right)^{2} = r^{2}$을 만족해야 한다. 즉, $\displaystyle p^{2} = 4 ( r^{2} - ( z - r )^{2} )$이 된다. 부피를 $\displaystyle z$에 관한 함수 $\displaystyle f ( z )$라고 하면$\displaystyle f ( z ) = - 2 z^{2} ( z - 2 r )$이다. 또한, 최대 부피를 가지기 위한 $\displaystyle z$의 범위는 $\displaystyle r \le z \le 2 r$이 된다. 함수 $\displaystyle f ( z )$의 극댓값을 구하기 위해 도함수를 구하면$\displaystyle f^{\prime} ( z ) = - 6 z^{2} + 8 r z = - 2 z ( 3 z - 4 r )$이고, $\displaystyle z = 4 \frac{r}{3}$일 때 극댓값을 갖는다. 따라서 최대 부피는 $\displaystyle f \left( 4 \frac{r}{3} \right) = 64 \frac{r^{3}}{27}$이 된다.

2. 어떤 부피를 싣기 위한 $\displaystyle h$의 최솟값을 구하기 위해서는 우선 $\displaystyle h$가 고정되었을 때 부피의 최댓값을 알아야 한다. 앞의 문제와 마찬가지로 인공위성의 가로, 세로, 높이를 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$라 하고 밑면의 대각선의 길이를 $\displaystyle p$라고 하자. 부피가 최대가 되기 위해서는 오른쪽 그림과 같이 화물칸에 내접해야 하므로, 삼각형의 닮음을 이용하여$\displaystyle \frac{h}{3} = \frac{{2 ( 3 + h - z )}}{p}$가 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle p = \frac{{6 ( 3 + h - z )}}{h}$이다. 인공위성의 높이가 $\displaystyle z$일 때 부피의 최댓값을 $\displaystyle g ( z )$라고 하면$\displaystyle g ( z ) = \frac{{18 z ( z - ( 3 + h ) )^{2}}}{h^{2}}$이 된다. 도함수를 구하면

$\displaystyle g'(z)=\frac{18}{h^2}(3z^2-4(3+h)z+(3+h)^2)=\frac{18}{h^2}(3z-(3+h))(z-(3+h))$이고 $\displaystyle z=\frac{3+h}3$에서 극댓값을 갖는다. 이 때, $\displaystyle h\le6$이면 $\displaystyle z=3$에서 최댓값을 갖는데, 그 때 부피는 $\displaystyle g(3)=54$이므로 $\displaystyle h\le6$일 수 없다. $\displaystyle h>6$인 경우 극댓값이 최댓값이 되는데, 그 때 부피는 $\displaystyle g\left(\frac{3+h}3\right)=\frac{18}{h^2}\frac{4(3+h)^3}{27}=\frac{72(3+h)^3}{27h^2}$이다. 즉,$\displaystyle \frac{72(3+h)^3}{27h^2}=64$를 만족해야 한다. $\displaystyle h>6$에서 방정식 $\displaystyle (h+3)^3=24h^2$을 풀면$\displaystyle (h-3)(h^2-12h-9)=0$이다. 따라서 $\displaystyle h=3(2+\sqrt5)$일 때 부피가 64인 인공위성을 넣을 수 있다.

3. 그림에 주어진 도형을 평면 $\displaystyle \mathrm{S}$로 정사영 시키면 다음 그림과 같은 형태의 평면도형이 나온다. 평면 $\displaystyle \mathrm{S}$와 그림의 도형의 중심축이 이루는 각도는 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이다. 따라서 중심축과 평행한 길이 $\displaystyle l$인 선분은 정사영의 길이가 $\displaystyle l \cos \frac{\pi}{6} = \frac{{l \sqrt{3}}}{2}$이 된다.정사영을 $\displaystyle \left( \mathrm{A} \right)$, $\displaystyle \left( \mathrm{B} \right)$, $\displaystyle \left( \mathrm{C} \right)$, $\displaystyle \left( \mathrm{D} \right)$의 네 구역으로 나누어 계산할 수 있다.구의 평면 $\displaystyle \mathrm{S}$ 위로의 정사영은 구가 된다. 따라서 $\displaystyle \left( \mathrm{A} \right)$의 넓이는 중심각이 $\displaystyle 5 \frac{\pi}{3}$인 부채꼴과 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형의 넓이이다.Correction. 이 문장의 “구가 된다”는 “원이 된다”의 오기이다. 구의 평면 위로의 정사영은 원과 그 내부로 이루어진 평면도형이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.($\displaystyle \left( \mathrm{A} \right)$의 넓이)$\displaystyle = 5 \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}$$\displaystyle \left( \mathrm{B} \right)$는 부채꼴과 삼각형의 넓이를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.($\displaystyle \left( \mathrm{B} \right)$의 넓이)$\displaystyle = \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi}{6}$$\displaystyle \left( \mathrm{C} \right)$는 정사영에 의해 가로의 길이가 $\displaystyle 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$이고 세로의 길이가 $\displaystyle 2$인 직사각형이므로 다음과 같다.($\displaystyle \left( \mathrm{C} \right)$의 넓이)$\displaystyle = 2 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 + \sqrt{3}$

원뿔의 밑면에 있는 점과 꼭짓점에 있는 점을 연결한 모든 선분은 정사영의 범위에 들어가야 한다. 따라서 $\displaystyle \left( \mathrm{D} \right)$의 선분은 $\displaystyle \left( \mathrm{C} \right)$안에 있는 타원에 접하게 된다.따라서 $\displaystyle \left( \mathrm{D} \right)$의 넓이를 구하기 위해서는 접선의 기울기를 구하여야 한다.타원이 원점에 놓여있고, $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 0 \right)$을 지나는 직선이 타원에 접한다고 하자.타원의 방정식은 $\displaystyle 4 x^{2} + y^{2} = 1$이고, 음함수 미분을 이용하여 접선의 기울기를 구할 수 있다.

$\displaystyle 8x\,dx+2y\,dy=0$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}y$를 얻고, 타원 위의 점 $\displaystyle (a,b)$에서의 접선은 $\displaystyle y=-\frac{4a}b(x-a)+b$가 된다. 이 접선이 점 $\displaystyle \left(\frac32,0\right)$를 지나므로 $\displaystyle -\frac{4a}b\left(\frac32-a\right)+b=0$를 얻고, 타원의 점이므로 $\displaystyle 4a^2+b^2=1$을 만족한다. 두 조건을 만족하는 점 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(\frac16,\frac{4\sqrt2}6\right),\ \left(\frac16,-\frac{4\sqrt2}6\right)$이고 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle -\frac1{\sqrt2},\ \frac1{\sqrt2}$이 된다. 이를 이용하여 (D)의 삼각형의 넓이를 구하면

($\displaystyle \left( \mathrm{D} \right)$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}}$이다. 이를 모두 더하면 정사영의 넓이를 구할 수 있다.(정사영의 넓이)$\displaystyle = \pi + 2 + \frac{{5 \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$