자연계열 1번

(1) 각 B와 각 C의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하면, 각 A의 크기는 $\displaystyle \pi-2\theta$이다. 원 $\displaystyle P_1$의 반지름 $\displaystyle p_1$은 $\displaystyle \frac{1-p_1}{1+p_1}=\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=\cos\theta$에서 $\displaystyle p_1=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$이므로, 일반적으로 원 $\displaystyle P_n$의 반지름 $\displaystyle p_n$은 공비가 $\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$인 등비수열이다.

마찬가지로 원 $\displaystyle Q_1$의 반지름 $\displaystyle q_1$은 $\displaystyle \sin\frac\theta2=\frac{1-q_1}{1+q_1}$에서 $\displaystyle q_1=\frac{1-\sin\frac\theta2}{1+\sin\frac\theta2}$이므로, 일반적으로 원 $\displaystyle Q_n$의 반지름 $\displaystyle q_n$은 공비가 $\displaystyle \frac{1-\sin\frac\theta2}{1+\sin\frac\theta2}$인 등비수열이다. 원 $\displaystyle R_n$의 반지름 $\displaystyle r_n$은 $\displaystyle q_n$과 같다.

따라서, 모든 원의 둘레의 합은 내접원 O의 둘레를 첫째항으로 하는 등비급수의 합을 이용하여 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=\frac{2\pi}{1-\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}+2\frac{2\pi}{1-\frac{1-\sin\frac\theta2}{1+\sin\frac\theta2}}-4\pi\\&=\frac{\pi(1+\cos\theta)}{\cos\theta}+\frac{2\pi\left(1+\sin\frac\theta2\right)}{\sin\frac\theta2}-4\pi\\&=\pi\sec\theta+2\pi\csc\frac\theta2-\pi\end{aligned}$이다.

(2) 삼각형의 세 변의 길이의 합은 내접원의 중심에서 각 변에 수선의 발을 내려, 꼭짓점에서 그 수선의 발까지의 거리의 합을 이용하여 계산할 수 있다. $\displaystyle g(\theta)=2\tan\theta+4\cot\frac\theta2$이다.

$\displaystyle \frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\frac{\pi\sec\theta+2\pi\csc\frac\theta2-\pi}{2\tan\theta+4\cot\frac\theta2}=\frac{\pi\sin\frac\theta2\sec\theta+2\pi-\pi\sin\frac\theta2}{2\sin\frac\theta2\tan\theta+4\cos\frac\theta2}$이고, $\displaystyle \theta\to0$이면$\displaystyle \frac{\pi\sin\frac\theta2\sec\theta+2\pi-\pi\sin\frac\theta2}{2\sin\frac\theta2\tan\theta+4\cos\frac\theta2}\to\frac{0+2\pi-0}{0+4}=\frac\pi2$이므로, $\displaystyle \lim_{\theta\to0}\frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\frac\pi2$이다.또한,$\displaystyle \frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\frac{\pi\sec\theta+2\pi\csc\frac\theta2-\pi}{2\tan\theta+4\cot\frac\theta2}=\frac{\pi+2\pi\cos\theta\csc\frac\theta2-\pi\cos\theta}{2\sin\theta+4\cos\theta\cot\frac\theta2}$이고,$\displaystyle \theta\to\frac\pi2$이면 $\displaystyle \frac{\pi+2\pi\cos\theta\csc\frac\theta2-\pi\cos\theta}{2\sin\theta+4\cos\theta\cot\frac\theta2}\to\frac{\pi+0-0}{2+0}=\frac\pi2$이므로, $\displaystyle \lim_{\theta\to\frac\pi2}\frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\frac\pi2$이다.