자연계열 (오후) 1번

[논제 Ⅰ](1) $\displaystyle \mathrm P_n(0,-n)$에서 곡선 $\displaystyle y=\ln x$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle (a,\ln a)$라 한다면 접선은 $\displaystyle y-\ln a=\frac1a(x-a)$이고 이 접선이 $\displaystyle (0,-n)$을 지나므로 $\displaystyle a=\frac1{e^{n-1}}$이다. 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle b_n=\frac n{e^{n-1}}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{e^n}\cdot\frac{e^{n-1}}n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac1e\frac{n+1}n=\frac1e$이다.

(2) 원점에서 곡선 $\displaystyle y=\ln x$에 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac xe$이며 이 접선과 $\displaystyle x$축 및 곡선으로 이뤄진 도형 위의 입체도형은 두 부분으로 나눠진다.

$\displaystyle 0\le x\le1$일 때, 입체도형의 단면은 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac xe$인 정삼각형이고,이 입체도형의 부피는 $\displaystyle V_1=\int_0^1\frac{\sqrt3}4\left(\frac xe\right)^2dx=\frac{\sqrt3}{12e^2}$이다.

$\displaystyle 1\le x\le e$일 때, 입체도형의 단면은 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac xe-\ln x$인 정삼각형이고, 이 입체도형의 부피는$\displaystyle V_2=\int_1^e\frac{\sqrt3}4\left(\frac xe-\ln x\right)^2dx=\frac{\sqrt3}4\int_1^e\left(\frac{x^2}{e^2}-\frac2e x\ln x+(\ln x)^2\right)dx=\frac{5\sqrt3}{24}e-\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}{8e}-\frac{\sqrt3}{12e^2}$이다.

따라서 입체도형의 전체 부피는 $\displaystyle V=V_1+V_2=\frac{5\sqrt3}{24}e-\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}{8e}=\frac{\sqrt3}2\left(\frac{5e}{12}-1-\frac1{4e}\right)$이다.